题目

13/15 填空题（分值8.0分，难度：易） lim_(xto0)xsin(1)/(x)= _

13/15 填空题（分值8.0分，难度：易） $\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=$ _

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，$x$ 是无穷小量，而 $\sin \frac{1}{x}$ 满足 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$。因此，有 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$。由夹逼定理，$\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$，可得 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。 答案：0

解析

本题考查函数极限的计算，解题思路是利用夹逼定理来求解。夹逼定理是指：若存在三个函数$f(x)$、$g(x)$、$h(x)$，在某一变化过程中，满足$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，且$\lim f(x)=\lim h(x)=A$，那么$\lim g(x)=A$。

下面我们来详细分析本题：

  1. 首先，我们知道正弦函数的值域是$[-1,1]$，即对于任意实数$t$，都有$-1\leq\sin t\leq1$。
    • 令$t = \frac{1}{x}$（$x\neq0$），则$-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq1$。
  2. 然后，我们给不等式两边同时乘以$x$，需要分情况讨论：
    • 当$x\gt0$时，不等式两边同时乘以$x$，不等号方向不变，得到$-x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq x$。
    • 当$x\lt0$时，不等式两边同时乘以$x$，不等号方向改变，得到$-x\geq x\sin\frac{1}{x}\geq x$，即$x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq -x$。
    • 综合$x\gt0$和$x\lt0$两种情况，我们可以统一表示为$-|x|\leq x\sin\frac{1}{x}\leq |x|$。
  3. 接着，我们分别计算$\lim_{x\to0}(-|x|)$和$\lim_{x\to0}|x|$：
    • 根据绝对值函数的性质，$\lim_{x\to0}(-|x|)= - \lim_{x\to0}|x|$。
    • 因为$\lim_{x\to0}|x| = 0$，所以$\lim_{x\to0}(-|x|)=0$。
  4. 最后，根据夹逼定理：
    • 由于$-|x|\leq x\sin\frac{1}{x}\leq |x|$，且$\lim_{x\to0}(-|x|)=\lim_{x\to0}|x| = 0$，所以$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$。