题目
9. (单选题，5分) int_(L)^ xds=（ ），L为抛物线y=x^2上0≤x≤1的弧段. (A) (1)/(12)(5sqrt(5)-1) (B) (1)/(8)(5sqrt(5)-1) (C) (16)/(3)(5sqrt(5)-1) (D) (1)/(2) A. (A) B. (B) C. (C) D. (D)
9. (单选题，5分) $\int_{L}^{ } xds=（ ），L$为抛物线$y=x^{2}$上0≤x≤1的弧段. (A) $\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$ (B) $\frac{1}{8}(5\sqrt{5}-1)$ (C) $\frac{16}{3}(5\sqrt{5}-1)$ (D) $\frac{1}{2}$
A. (A)
B. (B)
C. (C)
D. (D)
A. (A)
B. (B)
C. (C)
D. (D)
题目解答
答案
将曲线积分 $\int_{L} x \, ds$ 转换为关于 $x$ 的积分，其中 $ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
则积分变为 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
令 $u = 1 + 4x^2$，则 $du = 8x \, dx$，积分变为
\[
\frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{1/2} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right) = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right).
\]
因此，正确答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定积分的参数化
抛物线 $y = x^2$ 上的弧段 $L$ 可以用参数 $x$ 来表示，其中 $0 \leq x \leq 1$。因此，$ds$ 可以表示为 $ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$，其中 $y' = \frac{dy}{dx} = 2x$。所以，$ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 2：将曲线积分转换为关于 $x$ 的积分
将 $ds$ 的表达式代入曲线积分 $\int_{L} x \, ds$，得到 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 3：使用换元法计算积分
令 $u = 1 + 4x^2$，则 $du = 8x \, dx$。因此，$x \, dx = \frac{1}{8} du$。当 $x = 0$ 时，$u = 1$；当 $x = 1$ 时，$u = 5$。所以，积分变为 $\frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{1/2} \, du$。
步骤 4：计算积分
计算积分 $\frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{1/2} \, du$，得到 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right) = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right)$。
抛物线 $y = x^2$ 上的弧段 $L$ 可以用参数 $x$ 来表示，其中 $0 \leq x \leq 1$。因此，$ds$ 可以表示为 $ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$，其中 $y' = \frac{dy}{dx} = 2x$。所以，$ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 2：将曲线积分转换为关于 $x$ 的积分
将 $ds$ 的表达式代入曲线积分 $\int_{L} x \, ds$，得到 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 3：使用换元法计算积分
令 $u = 1 + 4x^2$，则 $du = 8x \, dx$。因此，$x \, dx = \frac{1}{8} du$。当 $x = 0$ 时，$u = 1$；当 $x = 1$ 时，$u = 5$。所以，积分变为 $\frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{1/2} \, du$。
步骤 4：计算积分
计算积分 $\frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{1/2} \, du$，得到 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right) = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right)$。