将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3 的概率。

考查要点：本题主要考查排列组合的应用及概率计算，需要根据最大球数的不同情况，分类讨论事件的可能数。

解题核心思路：

1. 确定总样本空间：每个球有4种选择，总共有$4^3=64$种放法。
2. 分类讨论最大球数：
   • 最大为1：所有球分布在不同杯子，即排列数$A_4^3$。
   • 最大为2：需从4个杯子中选1个放2个球，再从剩余杯子中选1个放1个球，注意组合选择的顺序。
   • 最大为3：直接选择1个杯子放全部3个球。

破题关键点：

• 区分排列与组合：最大为1时需排列，最大为2时需分步组合。
• 避免重复或遗漏：确保每种情况互斥且覆盖所有可能。

总样本空间

每个球有4种放法，总共有：
$4^3 = 64 \ \text{种}$

最大个数为1

要求每个杯子最多1个球，即3个球放在不同杯子中：

1. 排列数计算：从4个杯子选3个排列，即：
   $A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$
2. 概率计算：
   $\frac{24}{64} = \frac{3}{8}$

最大个数为2

要求恰好有一个杯子有2个球，另一个杯子有1个球：

1. 选择放2个球的杯子：有$C_4^1 = 4$种选择。
2. 选择放1个球的杯子：从剩余3个杯子中选1个，有$C_3^1 = 3$种选择。
3. 分配球：从3个球中选2个放入第一个杯子，剩下的1个放入第二个杯子，有$C_3^2 = 3$种方式。
4. 总数计算：
   $4 \times 3 \times 3 = 36$
5. 概率计算：
   $\frac{36}{64} = \frac{9}{16}$

最大个数为3

要求所有3个球放在同一杯子中：

1. 选择杯子：有$C_4^1 = 4$种选择。
2. 概率计算：
   $\frac{4}{64} = \frac{1}{16}$