题目
将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3 的概率。
将$$3$$只球随机地放入$$4$$个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3 的概率。
题目解答
答案
解：3个球随机地放入4个杯子中，共有
种。
(1)杯子中球的最大个数为1的有：$$A_4^3=24$$种，
故杯子中球的最大个数为1的概率为：$${24\over64}={3\over8}$$。
(2)杯子中球的最大个数为2的有：
种,
故杯子中球的最大个数为2的概率为：
。
(3)杯子中球的最大个数为3的有：$$C_4^1=4$$种
故杯子中球的最大个数为3的概率为：$${4\over64}={1\over16}$$。
解析
步骤 1：计算总的放球方式
将3只球随机地放入4个杯子中，每只球有4种选择，因此总共有$4^3=64$种放球方式。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为1的放球方式
杯子中球的最大个数为1，意味着每个杯子最多只能放1个球。因此，3只球需要放在3个不同的杯子中，共有$A_4^3=4\times3\times2=24$种放球方式。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为2的放球方式
杯子中球的最大个数为2，意味着有1个杯子放了2个球，另外1个杯子放了1个球。首先选择放2个球的杯子，有$C_4^1=4$种选择；然后从3只球中选择2只球放入该杯子，有$C_3^2=3$种选择；最后将剩下的1只球放入剩下的3个杯子中的任意一个，有$C_3^1=3$种选择。因此，共有$4\times3\times3=36$种放球方式。
步骤 4：计算杯子中球的最大个数为3的放球方式
杯子中球的最大个数为3，意味着有1个杯子放了3个球。首先选择放3个球的杯子，有$C_4^1=4$种选择。因此，共有$4$种放球方式。
将3只球随机地放入4个杯子中，每只球有4种选择，因此总共有$4^3=64$种放球方式。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为1的放球方式
杯子中球的最大个数为1，意味着每个杯子最多只能放1个球。因此，3只球需要放在3个不同的杯子中，共有$A_4^3=4\times3\times2=24$种放球方式。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为2的放球方式
杯子中球的最大个数为2，意味着有1个杯子放了2个球，另外1个杯子放了1个球。首先选择放2个球的杯子，有$C_4^1=4$种选择；然后从3只球中选择2只球放入该杯子，有$C_3^2=3$种选择；最后将剩下的1只球放入剩下的3个杯子中的任意一个，有$C_3^1=3$种选择。因此，共有$4\times3\times3=36$种放球方式。
步骤 4：计算杯子中球的最大个数为3的放球方式
杯子中球的最大个数为3，意味着有1个杯子放了3个球。首先选择放3个球的杯子，有$C_4^1=4$种选择。因此，共有$4$种放球方式。