题目
21.主观题(10分)求信号x(t)=e^-tu(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。要求:认真书写计算步骤，拍照上传本题答案，保证图片清晰。(10分)
21.主观题(10分)
求信号$x(t)=e^{-t}u(t)$的拉普拉斯变换及其收敛域。
要求:认真书写计算步骤，拍照上传本题答案，保证图片清晰。(10分)
题目解答
答案
信号 $ x(t) = e^{-t} u(t) $ 的拉普拉斯变换计算如下：
\[
X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t} \, dt
\]
积分收敛条件为 $ \text{Re}(s+1) > 0 $，即 $ \text{Re}(s) > -1 $。计算得：
\[
X(s) = \left[ \frac{e^{-(s+1)t}}{-(s+1)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+1}
\]
或者利用时域平移性质，$ \mathcal{L}\{e^{-t} u(t)\} = \frac{1}{s+1} $，收敛域相同。
**答案：**
\[
\boxed{\frac{1}{s+1}, \text{Re}(s) > -1}
\]
解析
考查要点：本题主要考查拉普拉斯变换的定义及其收敛域的确定方法，以及利用基本积分法或时域平移性质求解拉普拉斯变换的能力。
解题核心思路：
- 直接积分法：根据拉普拉斯变换的定义式，将信号代入积分表达式，计算积分并确定收敛条件。
- 时域平移性质：利用已知单位阶跃信号的拉普拉斯变换，结合指数信号的时域平移特性快速求解。
破题关键点：
- 积分收敛条件：指数函数的指数项实部需满足负实数条件，从而确定收敛域。
- 积分计算：正确计算指数函数的定积分，并注意积分上下限的代入。
方法一：直接积分法
根据拉普拉斯变换的定义：
$X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} u(t) e^{-st} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t} \, dt$
积分收敛条件：
指数函数 $e^{-(s+1)t}$ 的收敛要求为 $\text{Re}(s+1) > 0$，即 $\text{Re}(s) > -1$。
积分计算：
$\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t} \, dt = \left[ \frac{e^{-(s+1)t}}{-(s+1)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+1}$
方法二：时域平移性质
已知 $\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$，收敛域为 $\text{Re}(s) > 0$。
信号 $e^{-t} u(t)$ 可视为 $u(t)$ 向右平移1个单位，根据时域平移性质：
$\mathcal{L}\{e^{-t} u(t)\} = \frac{1}{s+1}$
收敛域调整为 $\text{Re}(s) > -1$。