计算下列行列式4，1，2，41，2，0，210，5，2，00，1，1，7

考查要点：本题主要考查四阶行列式的计算方法，特别是通过列变换和行展开简化行列式的技巧。

解题核心思路：

1. 列变换：通过列之间的线性组合，创造更多的零元素，简化行列式结构。
2. 行展开：利用某一行（列）中零元素较多的特点，按该行（列）展开，减少计算量。

破题关键点：

• 观察列结构：优先选择能通过简单变换产生零元素的列进行操作。
• 展开策略：优先展开零元素较多的行，降低计算复杂度。

步骤1：列变换简化行列式

1. 第4列减去第2列：
   原第4列 $[4, 2, 0, 7]$ 减去第2列 $[1, 2, 5, 1]$，得到新第4列 $[3, 0, -5, 6]$。
   变换后的矩阵：
   $\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 10 & 5 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

2. 第2列减去2倍第1列：
   原第2列 $[1, 2, 5, 1]$ 减去 $2 \times$ 第1列 $[4, 1, 10, 0]$，得到新第2列 $[-7, 0, -15, 1]$。
   变换后的矩阵：
   $\begin{pmatrix} 4 & -7 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & -15 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

步骤2：按第2行展开

• 第2行仅第1个元素为1，其余为0，展开后符号因子为 $(-1)^{2+1} = -1$。
• 对应的三阶余子式为：
  $\begin{vmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -15 & 2 & -5 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix}$

步骤3：计算三阶行列式

按第1行展开：
$\begin{aligned} -7 \cdot (2 \cdot 6 - (-5) \cdot 1) &- 2 \cdot (-15 \cdot 6 - (-5) \cdot 1) + 3 \cdot (-15 \cdot 1 - 2 \cdot 1) \\ = -7 \cdot 17 + 170 - 51 = 0 \end{aligned}$

最终结果

行列式值为 $1 \cdot (-1) \cdot 0 = 0$。