[题目] int xcos dfrac (x)(2)dx

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理被积函数中包含多项式与三角函数乘积的情况。关键在于合理选择分部积分中的$u$和$dv$，并正确处理变量替换。

解题核心思路：

1. 选择$u$和$dv$：通常将多项式部分设为$u$（因为求导后会简化），三角函数部分设为$dv$。
2. 分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
3. 处理剩余积分：对分部积分后得到的新积分，可能需要再次变量替换或直接应用基本积分公式。

破题关键点：

• 注意$\cos \frac{x}{2}$中的$\frac{x}{2}$是复合函数，需通过变量替换简化积分。
• 分部积分后剩余的$\int \sin \frac{x}{2} \, dx$需正确计算。

分部积分法步骤分解：

步骤1：选择$u$和$dv$

设：
$u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \\ dv = \cos \frac{x}{2} \, dx \quad \Rightarrow \quad v = 2 \sin \frac{x}{2}$

步骤2：应用分部积分公式

$\begin{aligned}\int x \cos \frac{x}{2} \, dx &= uv - \int v \, du \\&= x \cdot 2 \sin \frac{x}{2} - \int 2 \sin \frac{x}{2} \, dx \\&= 2x \sin \frac{x}{2} - 2 \int \sin \frac{x}{2} \, dx\end{aligned}$

步骤3：计算剩余积分

对$\int \sin \frac{x}{2} \, dx$进行变量替换：
$t = \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad dt = \frac{dx}{2} \quad \Rightarrow \quad dx = 2 dt$
因此：
$\int \sin \frac{x}{2} \, dx = \int \sin t \cdot 2 dt = -2 \cos t + C = -2 \cos \frac{x}{2} + C$

步骤4：代入结果

将剩余积分代入原式：
$\begin{aligned}\int x \cos \frac{x}{2} \, dx &= 2x \sin \frac{x}{2} - 2 \cdot (-2 \cos \frac{x}{2}) + C \\&= 2x \sin \frac{x}{2} + 4 \cos \frac{x}{2} + C\end{aligned}$