题目
8.(单选题,2.0分)-|||-微分方程 ^3011=3x 的通解是 ().
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微分方程的阶数
给定的微分方程是 ${y}^{m+1}=3x$，其中 ${y}^{m+1}$ 表示 $y$ 的 $(m+1)$ 阶导数。因此，这是一个 $(m+1)$ 阶微分方程。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们考虑齐次方程 ${y}^{m+1}=0$。这是一个 $(m+1)$ 阶齐次线性微分方程，其特征方程为 $r^{m+1}=0$。解得 $r=0$，且 $r=0$ 是 $(m+1)$ 重根。因此，齐次方程的通解为 $y_h=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_{m+1}x^m$，其中 $c_1, c_2, \cdots, c_{m+1}$ 是任意常数。
步骤 3：求解非齐次方程
接下来，我们考虑非齐次方程 ${y}^{m+1}=3x$。由于非齐次项是 $3x$，我们假设特解的形式为 $y_p=Ax^{m+2}$，其中 $A$ 是待定系数。将 $y_p$ 代入原方程，得到 $(m+2)(m+1)Ax^{m+1}=3x$。比较系数，得到 $(m+2)(m+1)A=3$，解得 $A=\frac{3}{(m+2)(m+1)}$。因此，特解为 $y_p=\frac{3}{(m+2)(m+1)}x^{m+2}$。
步骤 4：写出通解
最后，原微分方程的通解为齐次方程的通解加上特解，即 $y=y_h+y_p=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_{m+1}x^m+\frac{3}{(m+2)(m+1)}x^{m+2}$。
给定的微分方程是 ${y}^{m+1}=3x$，其中 ${y}^{m+1}$ 表示 $y$ 的 $(m+1)$ 阶导数。因此，这是一个 $(m+1)$ 阶微分方程。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们考虑齐次方程 ${y}^{m+1}=0$。这是一个 $(m+1)$ 阶齐次线性微分方程，其特征方程为 $r^{m+1}=0$。解得 $r=0$，且 $r=0$ 是 $(m+1)$ 重根。因此，齐次方程的通解为 $y_h=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_{m+1}x^m$，其中 $c_1, c_2, \cdots, c_{m+1}$ 是任意常数。
步骤 3：求解非齐次方程
接下来，我们考虑非齐次方程 ${y}^{m+1}=3x$。由于非齐次项是 $3x$，我们假设特解的形式为 $y_p=Ax^{m+2}$，其中 $A$ 是待定系数。将 $y_p$ 代入原方程，得到 $(m+2)(m+1)Ax^{m+1}=3x$。比较系数，得到 $(m+2)(m+1)A=3$，解得 $A=\frac{3}{(m+2)(m+1)}$。因此，特解为 $y_p=\frac{3}{(m+2)(m+1)}x^{m+2}$。
步骤 4：写出通解
最后，原微分方程的通解为齐次方程的通解加上特解，即 $y=y_h+y_p=c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_{m+1}x^m+\frac{3}{(m+2)(m+1)}x^{m+2}$。