题目

已知A、B两个事件满足条件 (AB)=P(overline (A)B), 且 (A)=p,则P(B)=_______


则P(B)=_______

题目解答

答案

解析


解析

本题主要考查概率的基本公式，包括概率的基本性质、事件的关系和运算等知识，关键是利用已知条件结合概率公式推导$P(B)$。

步骤1：明确已知条件

已知$P(AB)=P(\overline{A}B)$（事件$AB$与$\overline{A}B$的概率相等），且$P(A)=p$，目标是求$P(B)$。

步骤2：分析事件$AB$与$\overline{A}B$的关系

事件$\overline{A}$表示是$A$的对立事件，$AB$表示“$A$和$B$同时发生”，$\overline{A}B$表示“$A$不发生但$B$发生”。这两个事件互斥（不可能同时发生），且它们的并集是$(B$（因为$B$发生时，要么$A$发生，要么$A$不发生，即$B=AB\cup\overline{A}B$）。

步骤3：利用互斥事件概率加法公式

对于互斥事件$AB$与$\overline{A}B$，有：
$P(B)=P(AB\cup\overline{A}B)=P(AB)+P(\overline{A}B)$

步骤4：代入已知条件$P(AB)=P(\overline{A}B)$

由已知$P(AB)=P(\overline{A}B})$，代入上式得： $P(B)=P(AB)+P(AB)=2P(AB)\quad\Rightarrow\\P(AB)=\frac{1}{2}P(B)$

步骤5：用概率基本公式建立等式

根据概率的一般加法公式： $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ 但更直接的是利用$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)$，结合$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$（因为$B)=P(AB)+P(\overline{A}B)$），但其实更简单的是：

由于$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$，而已知$P(AB)=P(\overline{A}B)$，故： $P(AB)=P(B)-P(AB)\quad\Rightarrow\quad2P(AB)=P(B)\quad\Rightarrow\quad P(AB)=\frac{1}{2}P(B)\)？不，等一下，换个思路： $P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$，已知$P(AB)=P(\overline{A}B)$，所以：\[P(AB)=P(B)-P(AB)\quad\Rightarrow\quad P(B)=2P(AB)\quad\Rightarrow\quad P(AB)=\frac{1}{2}P(B)$

但我们需要另一个等式吗？不，其实不需要，因为$B=AB\cup\overline{A}B}$，互斥，所以$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(AB)+P(AB)=2P(AB)$，但这好像没结束？哦不，不对，已知条件是$P(AB)=P(\overline{A}B})$，而$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$，所以：

$P(AB)=P(B)-P(AB)\quad\Rightarrow\quad P(B)=2P(AB)$

但怎么得到$P(B)=1-p$？哦，等等，是不是我哪里错了？哦，不，原解析可能用了另一种方式：

考虑$P(A)+P(\overline{A})=1$，$P(AB)=P(A)P(B|A)$，$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B|\overline{A})$，但如果没有条件独立，不能这么用。

等等，换个公式：$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(AB)+P(AB)=2P(AB)$（因为已知$P(AB)=P(\overline{A}B)$，所以$P(AB)=\frac{1}{2}P(B)$，但这和$P(A)=p$有什么关系？哦！哦，不对，是不是原解析中的公式写错了？应该是$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，但可能用的是$P(\B})=P(AB)+P(\overline{A}B)$，而$P(AB)=P(A)P(B|A)$，$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B|\overline{A})$，但如果没有条件，怎么联系？

等等，哦！等一下，我犯了个错：$P(\overline{A}B)$是$B$发生且$A$不发生，所以$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$，已知$P(AB)=P(\overline{A}B)$，所以$P(AB)=P(B)-P(AB)\Rightarrow P(B)=2P(AB)$，但这怎么得到$P(B)=1-p$？除非……哦！是不是原题目抄错了？或者我理解错了？

等等，原解析写的是“由$P18=960=8408=18300=199分- .=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，知$P(B)=1-P$”，这明显是乱码吧？应该是原解析出错了，正确的应该是：

因为$AB$和$\overline{A}B$互斥，且$B=AB\cup\overline{A}B$，所以$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(AB)+P(AB)=2P(AB)$（因为$P(AB)=P(\overline已知已知条件，这只能推出\(P(AB)=\frac{1}{2}P(B)$，但和$P(A)=p$无关？这不可能，说明我错了。

哦！啊！$P(\overline{A}B)$是不是等于$P(B)-P(AB)$，没错，但$P(AB)=P(A)P(B)$吗？如果独立的话，但题目没说独立啊。等等，再想：$P(A)+P(\overline{A})=1$，$P(AB)=P(A)P(B|A)$，$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B|\overline{A})$，但如果$P(B|A)=P(B|\overline{A})$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)$，$P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B|A)$，所以$P(AB)=P(\overline{A}B)$当且仅当$P(A)=P(\overline{A})$，即$p=\frac{1}{2}$，但题目没说啊。

等等，题目是$P(AB)=P(\overline{A}B)$，求$P(B)$，已知$P(A)=p$。那：

$P(AB)=P(\overline{A}B)$

$P(A)P(B|A)=P(\overline{A})P(B|\overline{A})$

但如果没有其他条件，怎么求$P(B)$？这说明我哪里错了？哦！哦！$P(\overline{A}B)$是$P(B)-P(AB)$，所以$P(AB)=P(B)-P(AB)\Rightarrow P(B)=2P(AB)$，这是一个等式一，但还需要另一个等式吗？比如$P(A\cup B)=...$？不，题目没给$P(A\cup B)$啊。

等等，原解析的乱码部分，可能是输入错误，应该是$P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$？不对，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，那$1-P(A\cup B)=P(\overline{A}\overline{B})=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，这是对的。那怎么用？

假设$P(\overline{A}\overline{B})=...$？不知道。或者，是不是$P(AB)=P(\overline{A}B)$移项得$P(AB)-P(\overline{A}B)=0$，即$P(AB)-[P(B)-P(AB)]=0\Rightarrow 2P(AB)-P(B)=0\Rightarrow P(B)=2P(AB)$，这是唯一的结论吗？但题目给了$P(A)=p$，却没用到？这不可能，说明我误解了题目？

题目是$P(AB)=P(\overline{A}B)$吗？还是$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$？如果是后者，那$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，则$P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)\Rightarrow 0=1-P(A)-P(B)\Rightarrow P(A)+P(B)=1\Rightarrow P(B)=1-p$，这就对了！哦！是不是原题目写反了？$\overline{A}B$写成$\overline{A}\overline{B}$？

或者，原解析中的乱码是$P18=960=8408=18300=199分- .=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，这应该是$P(\overline{A}\overline{B})=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，如果题目是$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，则：

$P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$

两边消去$P(AB)$：$0=1-P(A)-P(B)\Rightarrow P(A)+P(B)=1\Rightarrow P(B)=1-p$，这就符合原解析的结论了！

那是不是用户是不是输入错了？题目是$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$吗？还是我哪里错了？

再看：如果题目是$P(AB)=P(\overline{A}B)$，那$P(B)$和$p$无关？比如$A$和$B$独立，$P(AB)=pP(B)$，$P(\overline{A}B)=(1-p)P(B)$，则$pP(B)=(1-p)P(B)\Rightarrow [p=1-p\Rightarrow p=\frac{1}{2}$，这也得不到$P(B)=1-p$。

或者，原解析中的$P(\overline{A}B)$是$P(\overline{A\cup B})$？也不对。

等等，再查一下类似的题目：哦，常见的题目是“已知$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，且$P(A)=p$，求$P(B)$”，答案是$1-p$。这应该是用户输入时把$\overline{A}\overline{B}$写成了$\overline{A}B$，或者原解析中的公式错误导致的。

因为根据原解析的结论$P(B)=1-P$（应该是$1-p$），结合常见题型，题目应该是$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，而不是$P(\overline{A}B)$。可能是用户输入时LaTeX错误，$\overline{A}\overline{B}$写成了$\overline{A}B$（少了一个$\overline{}$）。

假设题目为$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$的正确推导：

  1. 由概率的对立事件公式：$P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)$
  2. 由概率加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
  3. 代入得：$P(\overline{A}\overline{B})=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-P(A)-P(B)+P(AB)$
  4. 已知$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，故：
    $P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$
  5. 消去两边的$P(AB)$：
    $0=1-P(A)-P(B)$
  6. 解得：$P(B)=1-P(A)=1-p$

若题目确实为$P(AB)=P(\overline{A}B)$：

此时只能推出$P(B)=2P(AB)$，无法用$p$表示$P(B)$，这与题目给出$P(A)=p$矛盾，因此更可能是输入错误，应为$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$。

结合原解析结论，本题答案为$1-p$。