题目

3.必答[简答题]求int(3)/(x^2)-4dx

3.必答[简答题] 求$\int\frac{3}{x^{2}-4}dx$

题目解答

答案

为了求解积分 $\int \frac{3}{x^2 - 4} \, dx$，我们首先对被积函数进行部分分式分解。注意到 $x^2 - 4$ 可以因式分解为 $(x-2)(x+2)$。因此，我们可以将 $\frac{3}{x^2 - 4}$ 写成： \[ \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{3}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} \] 其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。为了找到 $A$ 和 $B$，我们将右边的表达式通分： \[ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} = \frac{A(x+2) + B(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{Ax + 2A + Bx - 2B}{(x-2)(x+2)} = \frac{(A+B)x + (2A-2B)}{(x-2)(x+2)} \] 由于这个表达式必须等于 $\frac{3}{(x-2)(x+2)}$，我们可以将分子的系数进行比较： \[ (A+B)x + (2A-2B) = 3 \] 这给出了我们两个方程： 1. $A + B = 0$ 2. $2A - 2B = 3$ 从第一个方程中，我们可以解出 $B$： \[ B = -A \] 将 $B = -A$ 代入第二个方程中，我们得到： \[ 2A - 2(-A) = 3 \implies 2A + 2A = 3 \implies 4A = 3 \implies A = \frac{3}{4} \] 因此，$B = -A = -\frac{3}{4}$。所以，部分分式分解为： \[ \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{3/4}{x-2} - \frac{3/4}{x+2} \] 现在，我们可以积分这个表达式： \[ \int \frac{3}{x^2 - 4} \, dx = \int \left( \frac{3/4}{x-2} - \frac{3/4}{x+2} \right) \, dx = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x-2} \, dx - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+2} \, dx \] 这两个积分都是基本的对数积分： \[ \int \frac{1}{x-2} \, dx = \ln|x-2| + C_1 \quad \text{和} \quad \int \frac{1}{x+2} \, dx = \ln|x+2| + C_2 \] 因此，我们有： \[ \frac{3}{4} \int \frac{1}{x-2} \, dx - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+2} \, dx = \frac{3}{4} \ln|x-2| - \frac{3}{4} \ln|x+2| + C \] 其中 $C = \frac{3}{4}C_1 - \frac{3}{4}C_2$ 是积分常数。利用对数的性质，我们可以将表达式合并为一个对数： \[ \frac{3}{4} \ln|x-2| - \frac{3}{4} \ln|x+2| = \frac{3}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| \] 所以，最终答案是： \[ \boxed{\frac{3}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C} \]

解析

考查要点：本题主要考查有理函数的积分方法，特别是利用部分分式分解将复杂分式转化为简单分式进行积分的能力。

解题核心思路：

  1. 因式分解分母，将被积函数拆分为简单分式的和；
  2. 待定系数法确定部分分式的系数；
  3. 逐项积分，利用基本积分公式求解；
  4. 合并对数项简化结果。

破题关键点：

  • 识别分母结构：分母为$x^2-4$，可分解为$(x-2)(x+2)$；
  • 正确设定部分分式形式：$\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$；
  • 解方程组求系数：通过分子多项式系数比较确定$A$和$B$；
  • 积分后合并对数项：利用$\ln a - \ln b = \ln\left|\frac{a}{b}\right|$简化表达式。

步骤1：部分分式分解
将$\frac{3}{x^2-4}$分解为$\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$，通分后比较分子系数：
$\begin{cases}A + B = 0 \\2A - 2B = 3\end{cases}$
解得$A = \frac{3}{4}$，$B = -\frac{3}{4}$，故：
$\frac{3}{x^2-4} = \frac{3/4}{x-2} - \frac{3/4}{x+2}$

步骤2：逐项积分
将积分拆分为两部分：
$\int \frac{3}{x^2-4} \, dx = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x-2} \, dx - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+2} \, dx$
利用基本积分公式$\int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C$，得：
$\frac{3}{4} \ln|x-2| - \frac{3}{4} \ln|x+2| + C$

步骤3：合并对数项
利用对数性质$\ln a - \ln b = \ln\left|\frac{a}{b}\right|$，结果可写为：
$\frac{3}{4} \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$