题目

1.已知事件A、B满足条件P(AB)=P(overline(AB))，且P(A)=p，则P(B)=____.

1.已知事件A、B满足条件$P(AB)=P(\overline{AB})$，且P(A)=p，则P(B)=____.

题目解答

答案

由已知条件 $P(AB) = P(\overline{AB})$，利用补集性质得： \[ P(\overline{AB}) = 1 - P(A \cup B) \] 代入概率加法公式： \[ P(AB) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)] \] 化简得： \[ P(AB) - P(AB) = 1 - P(A) - P(B) \] 即： \[ 0 = 1 - P(A) - P(B) \] 解得： \[ P(B) = 1 - P(A) = 1 - p \] **答案：** $\boxed{1-p}$

解析

考查要点：本题主要考查概率的基本性质，特别是事件的并、交、补集之间的关系，以及概率加法公式的应用。

解题核心思路：

  1. 理解条件：明确题目中$P(AB)$和$P(\overline{AB})$的含义，其中$\overline{AB}$表示事件$A$和$B$都不发生。
  2. 利用补集性质：将$P(\overline{AB})$转化为$1 - P(A \cup B)$。
  3. 代入概率加法公式：通过公式$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$建立方程，最终解出$P(B)$。

破题关键点：

  • 正确转化补集概率：$P(\overline{AB}) = 1 - P(A \cup B)$。
  • 联立方程消元：通过代入公式消去$P(AB)$，直接得到关于$P(B)$的方程。

步骤1：转化条件
由题意，$P(AB) = P(\overline{AB})$，而$\overline{AB}$表示$A$和$B$都不发生，即$A \cup B$的补集。根据补集性质：
$P(\overline{AB}) = 1 - P(A \cup B).$

步骤2：代入概率加法公式
根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB).$
将$P(\overline{AB})$代入原条件得：
$P(AB) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)].$

步骤3：化简方程
展开并整理方程：
$P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB).$
两边同时减去$P(AB)$，得到：
$0 = 1 - P(A) - P(B).$

步骤4：解方程
直接解得：
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - p.$