题目
已知直线L: ) 2y+3z-5=0 x-2y-z+7=0 . ,求:-|||-(1)直线在yOz平面上的投影方程;(2)直线在xOy平面上的投影方程;-|||-(3)直线在平面Ⅱ: x-y+3z+8=0 上的投影方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求直线在yOz平面上的投影方程
yOz平面的方程为 $x=0$。注意到直线L由两个平面相交而成，其中一个平面方程 $2y+3z-5=0$ 缺x项，它垂直于yOz平面。因此，过L且垂直于yOz平面的平面方程即 $2y+3z-5=0$。所以L在yOz平面上的投影方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ 2y+3z-5=0\end{matrix} \right.$。
步骤 2：求直线在xOy平面上的投影方程
xOy平面的方程为 $z=0$。从L的方程中消去z，得到 $(2y+3z-5)+3\times (x-2y-z+7)=0$，化简得 $3x-4y+16=0$。则所求的投影方程为 $\left \{ \begin{matrix} z=0\\ 3x-4y+16=0\end{matrix} \right.$。
步骤 3：求直线在平面Ⅱ: x-y+3z+8=0 上的投影方程
设平面Ⅱ1过L且垂直于Ⅱ，设Ⅱ1,Ⅱ的法向量分别为n1,n，L的方向向量为s，则 ${n}_{1}\bot s$，${n}_{1}\bot {n}_{5}$，从而可取 ${n}_{1}=$ -L $s\times n$，其中 $s=\{ 0,2,3\} \times \{ 1,-2,-1\} =4i+3j-2k$。所以 ${n}_{1}=\{ 4,3,-2\} \times \{ 1,-1,3\} =7(i-2j-k)$。在L上任取一点，如令 $z=-1\Longrightarrow y=4$，x=0，则点 (0,4,-1) 也在平面Ⅱ1上。故Ⅱ1的方程为 (x-0)-2(y-4)-(z+1)=0，即 $x-2y-z+7=0$。故所求的投影直线方程为L':x -y+3z+8=0 $\{ x-2y-z+7=0$。
yOz平面的方程为 $x=0$。注意到直线L由两个平面相交而成，其中一个平面方程 $2y+3z-5=0$ 缺x项，它垂直于yOz平面。因此，过L且垂直于yOz平面的平面方程即 $2y+3z-5=0$。所以L在yOz平面上的投影方程为 $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ 2y+3z-5=0\end{matrix} \right.$。
步骤 2：求直线在xOy平面上的投影方程
xOy平面的方程为 $z=0$。从L的方程中消去z，得到 $(2y+3z-5)+3\times (x-2y-z+7)=0$，化简得 $3x-4y+16=0$。则所求的投影方程为 $\left \{ \begin{matrix} z=0\\ 3x-4y+16=0\end{matrix} \right.$。
步骤 3：求直线在平面Ⅱ: x-y+3z+8=0 上的投影方程
设平面Ⅱ1过L且垂直于Ⅱ，设Ⅱ1,Ⅱ的法向量分别为n1,n，L的方向向量为s，则 ${n}_{1}\bot s$，${n}_{1}\bot {n}_{5}$，从而可取 ${n}_{1}=$ -L $s\times n$，其中 $s=\{ 0,2,3\} \times \{ 1,-2,-1\} =4i+3j-2k$。所以 ${n}_{1}=\{ 4,3,-2\} \times \{ 1,-1,3\} =7(i-2j-k)$。在L上任取一点，如令 $z=-1\Longrightarrow y=4$，x=0，则点 (0,4,-1) 也在平面Ⅱ1上。故Ⅱ1的方程为 (x-0)-2(y-4)-(z+1)=0，即 $x-2y-z+7=0$。故所求的投影直线方程为L':x -y+3z+8=0 $\{ x-2y-z+7=0$。