求函数f(x)=({x)^4}-2({x)^2}+3的单调区间与极值.

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3$的导数$f'(x)$，以确定函数的单调性。
$$f'(x) = 4x^3 - 4x$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x) = 0$。
$$4x^3 - 4x = 0$$
$$4x(x^2 - 1) = 0$$
$$4x(x - 1)(x + 1) = 0$$
解得$x = 0, x = 1, x = -1$。
步骤 3：确定单调区间
根据导数的零点，我们可以将实数轴分为四个区间：$(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$。我们需要在每个区间内选择一个点，代入导数$f'(x)$，以确定函数的单调性。
- 在区间$(-\infty, -1)$内，选择$x = -2$，则$f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$，所以函数在$(-\infty, -1)$内单调递减。
- 在区间$(-1, 0)$内，选择$x = -0.5$，则$f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$，所以函数在$(-1, 0)$内单调递增。
- 在区间$(0, 1)$内，选择$x = 0.5$，则$f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$，所以函数在$(0, 1)$内单调递减。
- 在区间$(1, +\infty)$内，选择$x = 2$，则$f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$，所以函数在$(1, +\infty)$内单调递增。
步骤 4：确定极值
根据导数的零点和单调性，我们可以确定函数的极值。
- 当$x = -1$时，函数从单调递减变为单调递增，所以$x = -1$是函数的极小值点，极小值为$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$。
- 当$x = 0$时，函数从单调递增变为单调递减，所以$x = 0$是函数的极大值点，极大值为$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$。
- 当$x = 1$时，函数从单调递减变为单调递增，所以$x = 1$是函数的极小值点，极小值为$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$。