题目

6.方程xy'+y=2sqrt(xy)的通解为

6.方程$xy'+y=2\sqrt{xy}$的通解为

题目解答

答案

令 $y = vx$，则 $y' = v'x + v$。代入原方程得：
$x(v'x + v) + vx = 2\sqrt{x(vx)} \implies x^2v' + 2vx = 2x\sqrt{v}.$
两边除以 $x$（$x \neq 0$）：
$xv' + 2v = 2\sqrt{v} \implies xv' = 2(\sqrt{v} - v).$
分离变量：
$\frac{dv}{2(\sqrt{v} - v)} = \frac{dx}{x}.$
令 $u = \sqrt{v}$，则 $dv = 2u \, du$，代入得：
$\frac{2u \, du}{2(u - u^2)} = \frac{dx}{x} \implies \frac{du}{1 - u} = \frac{dx}{x}.$
积分两边：
$\ln\left|\frac{1}{1 - u}\right| = \ln|x| + C \implies \frac{1}{1 - u} = Kx,$
其中 $K = e^C$。解得：
$u = 1 - \frac{1}{Kx} \implies v = \left(1 - \frac{1}{Kx}\right)^2.$
代回 $y = vx$：
$y = x\left(1 - \frac{1}{Kx}\right)^2 = \frac{(Kx - 1)^2}{K^2x}.$
或等价表示：
$y = x\left(1 - \frac{C}{x}\right)^2,$
其中 $C = \frac{1}{K}$ 为任意非零常数。

答案：
$\boxed{y = x\left(1 - \frac{C}{x}\right)^2}$

解析

本题考查一阶非线性微分方程的求解，解题思路是通过变量代换将原方程转化为可分离变量的微分方程，然后进行分离变量、积分求解，最后代回原变量得到通解。

  1. 变量代换：
    • 令$y = vx$，对$y$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，这里$u = x$，$v$是关于$x$的函数，可得$y^\prime=v^\prime x + v$。
    • 将$y = vx$和$y^\prime=v^\prime x + v$代入原方程$xy^\prime + y = 2\sqrt{xy}$，得到：
      • $x(v^\prime x + v)+vx = 2\sqrt{x(vx)}$。
      • 展开式子左边得$x^{2}v^\prime+vx + vx=x^{2}v^\prime + 2vx$，右边$2\sqrt{x(vx)} = 2x\sqrt{v}$，所以方程变为$x^{2}v^\prime + 2vx = 2x\sqrt{v}$。
  2. 化简方程：
    • 因为$x\neq0$（若$x = 0$，原方程$xy^\prime + y = 2\sqrt{xy}$无意义），方程两边同时除以$x$，得到$xv^\prime+2v = 2\sqrt{v}$。
    • 移项可得$xv^\prime=2(\sqrt{v}-v)$。
  3. 分离变量：
    • 将上式变形为$\frac{dv}{2(\sqrt{v}-v)}=\frac{dx}{x}$。
  4. 再次变量代换：
    • 令$u = \sqrt{v}$，则$v = u^{2}$，对$v$求导$dv = 2u\ du$。
    • 将$dv = 2u\ du$和$v = u^{2}$代入$\frac{dv}{2(\sqrt{v}-v)}=\frac{dx}{x}$，得到$\frac{2u\ du}{2(u - u^{2})}=\frac{dx}{x}$。
    • 约去$2$，并对分子分母提取公因式$u$，$\frac{u\ du}{u(1 - u)}=\frac{dx}{x}$，即$\frac{du}{1 - u}=\frac{dx}{x}$。
  5. 积分求解：
    • 对$\frac{du}{1 - u}=\frac{dx}{x}$两边分别积分。
      • 对于$\int\frac{du}{1 - u}$，令$t=1 - u$，则$dt=-du$，$\int\frac{du}{1 - u}=-\int\frac{dt}{t}=-\ln|t|=-\ln|1 - u|$。
      • 对于$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|$。
      • 所以$-\ln|1 - u|=\ln|x|+C_1$（$C_1$为积分常数）。
      • 变形可得$\ln\left|\frac{1}{1 - u}\right|=\ln|x|+C_1$。
      • 根据对数的性质，可得$\frac{1}{1 - u}=Kx$，其中$K = e^{C_1}$（$K\neq0$）。
  6. 回代求解$v$：
    • 由$\frac{1}{1 - u}=Kx$，解出$u$：
      • $1 - u=\frac{1}{Kx}$，则$u = 1-\frac{1}{Kx}$。
    • 因为$v = u^{2}$，所以$v=\left(1-\frac{1}{Kx}\right)^{2}$。
  7. 回代求解$y$：
    • 因为$y = vx$，将$v=\left(1-\frac{1}{Kx}\right)^{2}$代入得$y=x\left(1-\frac{1}{Kx}\right)^{2}=\frac{(Kx - 1)^{2}}{K^{2}x}$。
    • 令$C=\frac{1}{K}$（$C$为任意非零常数），则通解可表示为$y = x\left(1-\frac{C}{x}\right)^{2}$。