下列函数中，不是调和函数的是A. u = x^2 - y^2B. u = x^2 + y^2C. u = xyD. u = e^x cos y

本题考查调和函数的定义及判断，解题思路是根据调和函数的定义，即若函数$u(x,y)$在某区域内具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$，则称$u(x,y)$为该区域内的调和函数。我们需要分别对每个选项中的函数求二阶偏导数，然后代入拉普拉斯方程进行判断。

选项A

对于函数$u = x^2 - y^2$：

• 先求一阶偏导数：
  • 对$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$。
  • 对$y$求偏导数，可得$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$。
• 再求二阶偏导数：
  • 对$\frac{\partial u}{\partial x}$关于$x$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 2$。
  • 对$\frac{\partial u}{\partial y}$关于$y$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = -2$。
• 最后代入拉普拉斯方程：
  $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 2 + (-2)=0$，满足拉普拉斯方程，所以$u = x^2 - y^2$是调和函数。

选项B

对于函数$u = x^2 + y^2$：

• 先求一阶偏导数：
  • 对$x$求偏导数，可得$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$。
  • 对$y$求偏导数，可得$\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$。
• 再求二阶偏导数：
  • 对$\frac{\partial u}{\partial x}$关于$x$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 2$。
  • 对$\frac{\partial u}{\partial y}$关于$y$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 2$。
• 最后代入拉普拉斯方程：
  $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 2 + 2 = 4\neq0$，不满足拉普拉斯方程，所以$u = x^2 + y^2$不是调和函数。

选项C

对于函数$u = xy$：

• 先求一阶偏导数：
  • 对$x$求偏导数，可得$\frac{\partial u}{\partial x} = y$。
  • 对$y$求偏导数，可得$\frac{\partial u}{\partial y} = x$。
• 再求二阶偏导数：
  • 对$\frac{\partial u}{\partial x}$关于$x$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 0$。
  • 对$\frac{\partial u}{\partial y}$关于$y$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$。
• 最后代入拉普拉斯方程：
  $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0 + 0 = 0$，满足拉普拉斯方程，所以$u = xy$是调和函数。

选项D

对于函数$u = e^x \cos y$：

• 先求一阶偏导数：
  • 对$x$求偏导数，根据求导公式$(e^X)^\prime=e^X$，可得$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y$。
  • 对$y$求偏导数，根据求导公式$(\cos X)^\prime=-\sin X$，可得$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$。
• 再求二阶偏导数：
  • 对$\frac{\partial u}{\partial x}$关于$x$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = e^x \cos y$。
  • 对$\frac{\partial u}{\partial y}$关于$y$求偏导数，$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = -e^x \cos y$。
• 最后代入拉普拉斯方程：
  $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = e^x \cos y + (-e^x \cos y)=0$，满足拉普拉斯方程，所以$u = e^x \cos y$是调和函数。