题目
4.已知平面 2x+3y-z+5=0 与直线 dfrac (x-1)(2)=dfrac (y+2)(lambda )=dfrac (z-3)(-5) 平行,则 lambda =() .-|||-(A) -1 (B) -2 (C) -3 (D) -4
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平面的法向量
平面 2x+3y-z+5=0 的法向量为 $\vec{n}=(2,3,-1)$。
步骤 2：确定直线的方向向量
直线 $\dfrac {x-1}{2}=\dfrac {y+2}{\lambda }=\dfrac {z-3}{-5}$ 的方向向量为 $\vec{a}=(2,\lambda,-5)$。
步骤 3：利用平面与直线平行的条件
平面与直线平行，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。因此，$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$。
即 $(2,3,-1) \cdot (2,\lambda,-5) = 0$。
计算点积：$2 \times 2 + 3 \times \lambda + (-1) \times (-5) = 0$。
化简得：$4 + 3\lambda + 5 = 0$。
解得：$3\lambda = -9$，$\lambda = -3$。
平面 2x+3y-z+5=0 的法向量为 $\vec{n}=(2,3,-1)$。
步骤 2：确定直线的方向向量
直线 $\dfrac {x-1}{2}=\dfrac {y+2}{\lambda }=\dfrac {z-3}{-5}$ 的方向向量为 $\vec{a}=(2,\lambda,-5)$。
步骤 3：利用平面与直线平行的条件
平面与直线平行，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。因此，$\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$。
即 $(2,3,-1) \cdot (2,\lambda,-5) = 0$。
计算点积：$2 \times 2 + 3 \times \lambda + (-1) \times (-5) = 0$。
化简得：$4 + 3\lambda + 5 = 0$。
解得：$3\lambda = -9$，$\lambda = -3$。