化简：lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x+1}-sqrt ({x)^2-x+1}).

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是处理两个二次根式相减的极限问题。关键在于运用有理化方法消除根号相减带来的不定型，再结合无穷大时的近似展开简化表达式。

解题思路：

1. 有理化：将原式乘以共轭表达式，将分子转化为两个根号的平方差，分母变为两个根号之和。
2. 化简分子：平方差展开后，分子简化为一次项。
3. 分解分母：将每个根号分解为$x$与一个趋于1的因子相乘的形式，提取$x$后约分。
4. 代入极限：当$x \to +\infty$时，分母中的小项趋于0，最终得到极限值。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+x+1}-\sqrt {{x}^{2}-x+1})$
将分子和分母同时乘以共轭表达式$\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}$，得：
$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{(\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1})(\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1})}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}}$

步骤2：分子化简
利用平方差公式，分子变为：
$(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1) = 2x$
因此，原式化简为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2x}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}}$

步骤3：分解分母
将每个根号分解为$x$与一个趋于1的因子相乘的形式：
$\sqrt{x^2 + x + 1} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}, \quad \sqrt{x^2 - x + 1} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$
代入分母后，分母变为：
$x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \right)$
因此，原式进一步化简为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \right)} = \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

步骤4：代入极限
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此分母趋于：
$\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0} = 1 + 1 = 2$
最终极限值为：
$\frac{2}{2} = 1$