化简：lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x+1}-sqrt ({x)^2-x+1}).

步骤 1：有理化分子
为了化简极限，我们首先对分子进行有理化处理。我们乘以分子和分母的共轭表达式，即$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}$，这样可以消除根号，使表达式更容易处理。
步骤 2：化简表达式
分子变为$(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1})$，根据差的平方公式，这等于$(x^2+x+1)-(x^2-x+1)$，即$2x$。分母保持不变，为$\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}$。
步骤 3：化简极限
现在，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}$。为了进一步化简，我们提取$x^2$的平方根，即$x$，从根号中提取出来，这样可以更容易地看到$x$趋向于无穷时的极限。
步骤 4：计算极限
提取$x$后，我们得到$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}})}$。由于$x$趋向于无穷，$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x^2}$趋向于0，因此极限变为$\dfrac{2}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0+0}}=\dfrac{2}{1+1}=1$。