注 类似地，求极限lim_(ntoinfty)sqrt[n](((1^2+n^2)(2^2+n^2)...(n^2+n^2))/(1+2+...+n))

考查要点：本题主要考查数列极限的求解方法，特别是处理根号n次方的乘积形式，以及利用积分近似求和的技巧。

解题核心思路：

1. 分子变形：将每个因子提取公因式$n^2$，转化为与$\frac{k}{n}$相关的表达式。
2. 分母简化：利用等差数列求和公式，将分母近似为$\frac{n^2}{2}$。
3. 对数转换：对表达式取对数，将乘积转化为求和，进而用积分近似。
4. 积分计算：计算$\int_0^1 \ln(x^2 + 1) \, dx$，结合指数运算得到最终结果。

破题关键：

• 提取公因式简化分子结构。
• 积分近似求和处理乘积项的对数。
• 分部积分法计算复杂积分。

分子变形

分子为$(1^2 + n^2)(2^2 + n^2) \cdots (n^2 + n^2)$，每个因子可写为：
$k^2 + n^2 = n^2 \left( \left( \frac{k}{n} \right)^2 + 1 \right)$
因此分子整体为：
$n^{2n} \prod_{k=1}^n \left( \left( \frac{k}{n} \right)^2 + 1 \right)$

分母简化

分母为$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，当$n \to \infty$时，近似为$\frac{n^2}{2}$。

原式化简

原式可表示为：
$\sqrt[n]{\frac{n^{2n} \prod_{k=1}^n \left( \left( \frac{k}{n} \right)^2 + 1 \right)}{\frac{n(n+1)}{2}}} = n^2 \sqrt[n]{\frac{2}{n} \prod_{k=1}^n \left( \left( \frac{k}{n} \right)^2 + 1 \right)}$

取对数并积分近似

对根号部分取对数：
$\ln \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left( \left( \frac{k}{n} \right)^2 + 1 \right)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( \left( \frac{k}{n} \right)^2 + 1 \right)$
当$n \to \infty$时，求和近似为积分：
$\int_0^1 \ln(x^2 + 1) \, dx$

积分计算

使用分部积分法：

1. 设$u = \ln(x^2 + 1)$，$dv = dx$，则$du = \frac{2x}{x^2 + 1} dx$，$v = x$。
2. 积分变为：
   $x \ln(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} dx$
3. 进一步化简：
   $x \ln(x^2 + 1) - 2 \int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx = x \ln(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan x$
4. 代入上下限$0$到$1$，结果为：
   $\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$

最终结果

原式极限为：
$n^2 \cdot e^{\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt[n]{\frac{2}{n}} \to 4 e^{\frac{\pi}{2} - 2}$