题目

14.（6.0分）设3阶方阵A的伴随阵为A^*且|A|=1/2，则|(3A)^-1-2A^*|=_____.

14.（6.0分）设3阶方阵A的伴随阵为$A^{*}$且$|A|=1/2$，则$|(3A)^{-1}-2A^{*}|=$_____.

题目解答

答案

由题意，$A$为3阶方阵且$|A| = \frac{1}{2}$。利用矩阵性质： 1. $(3A)^{-1} = \frac{1}{3}A^{-1}$。 2. $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} = 2A^*$，故$(3A)^{-1} = \frac{2}{3}A^*$。 3. 原式化简为$\frac{2}{3}A^* - 2A^* = -\frac{4}{3}A^*$。 4. 行列式性质：$\left|-\frac{4}{3}A^*\right| = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 |A^*| = -\frac{64}{27} |A^*|$。 5. $|A^*| = |A|^2 = \frac{1}{4}$，代入得$-\frac{64}{27} \times \frac{1}{4} = -\frac{16}{27}$。 答案：$\boxed{-\frac{16}{27}}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的伴随矩阵、逆矩阵的性质，以及行列式的运算规律。
解题思路：

  1. 利用逆矩阵与伴随矩阵的关系，将$(3A)^{-1}$转化为与$A^*$相关的表达式；
  2. 将原式化简为关于$A^*$的线性组合；
  3. 应用行列式的齐次性性质和伴随矩阵行列式的公式计算最终结果。
    关键点：
  • $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$；
  • $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$；
  • $|kA| = k^n |A|$（$n$为矩阵阶数）；
  • $|A^*| = |A|^{n-1}$。

  1. 化简$(3A)^{-1}$
    根据逆矩阵的性质：
    $(3A)^{-1} = \frac{1}{3}A^{-1}.$
    再结合$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$，代入$|A| = \frac{1}{2}$得：
    $(3A)^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{A^*}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}A^*.$

  2. 化简原式
    原式为：
    $(3A)^{-1} - 2A^* = \frac{2}{3}A^* - 2A^* = -\frac{4}{3}A^*.$

  3. 计算行列式
    根据行列式的齐次性：
    $\left| -\frac{4}{3}A^* \right| = \left( -\frac{4}{3} \right)^3 |A^*|.$
    再利用伴随矩阵行列式的公式$|A^*| = |A|^{n-1}$（$n=3$）：
    $|A^*| = \left( \frac{1}{2} \right)^{3-1} = \frac{1}{4}.$
    代入得：
    $\left( -\frac{4}{3} \right)^3 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{64}{27} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{16}{27}.$