设f（x）={sqrt(|x|)sin(1)/({x)^2)，x≠0}0，x=0).，则f（x）在x=0处（ ）A. 极限不存在B. 极限存在但不连续C. 连续但不可导D. 可导

本题考查分段函数在分段点处的连续性和可导性。解题核心在于：

1. 连续性：验证当$x \to 0$时，$f(x)$的极限是否等于$f(0)$；
2. 可导性：通过导数定义式计算$f'(0)$是否存在。

关键思路：

• 利用夹逼定理处理含$\sin$函数的极限；
• 注意$x$趋近于0时$\sqrt{|x|}$的衰减速度对整体表达式的影响。

连续性分析

当$x \neq 0$时，$f(x) = \sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}$。
由于$|\sin \frac{1}{x^2}| \leq 1$，可得：
$|f(x)| = \sqrt{|x|} \cdot \left|\sin \frac{1}{x^2}\right| \leq \sqrt{|x|}$
当$x \to 0$时，$\sqrt{|x|} \to 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$
因此，$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性分析

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}}{x}$
化简表达式：
$\frac{\sqrt{|x|}}{x} = \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}} & x > 0, \\-\frac{1}{\sqrt{-x}} & x < 0.\end{cases}$
因此：
$\left|\frac{\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}}{x}\right| = \frac{1}{\sqrt{|x|}} \cdot \left|\sin \frac{1}{x^2}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{|x|}}$
当$x \to 0$时，$\frac{1}{\sqrt{|x|}} \to 0$，再次根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}}{x} = 0$
因此，$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0) = 0$。