题目
设3阶矩阵A有特征值L,-1,2, E为3 阶单位矩阵，则下列矩阵中（） 一定可逆 ；AL,-1,2BL,-1,2CL,-1,2DL,-1,2
设3阶矩阵A有特征值
, E为3 阶单位矩阵，则下列矩阵中（） 一定可逆 ；
A
B
C
D
题目解答
答案
由题设可知3阶矩阵A有特征值，
则
从而，根据矩阵可逆的充要条件：
可知，，均不可逆，而
一定不为零，故只有矩阵可逆
故答案为B。
解析
步骤 1：理解矩阵可逆的条件
矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，即$|A|\neq 0$。
步骤 2：分析给定的特征值
已知矩阵A有特征值L, -1, 2。根据特征值的性质，矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即$|A| = L \times (-1) \times 2$。
步骤 3：计算各选项的行列式
A. $H+\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {H}}}}$：根据题设，$|E+A|=|E-A|=|2E-A|=0$，因此$H+\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {H}}}}$不可逆。
B. V+H：由于V+H的行列式一定不为零，因此V+H可逆。
C. $H-\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {C}}}}$：根据题设，$|E+A|=|E-A|=|2E-A|=0$，因此$H-\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {C}}}}$不可逆。
D. 2E-A：根据题设，$|E+A|=|E-A|=|2E-A|=0$，因此2E-A不可逆。
矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零，即$|A|\neq 0$。
步骤 2：分析给定的特征值
已知矩阵A有特征值L, -1, 2。根据特征值的性质，矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即$|A| = L \times (-1) \times 2$。
步骤 3：计算各选项的行列式
A. $H+\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {H}}}}$：根据题设，$|E+A|=|E-A|=|2E-A|=0$，因此$H+\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {H}}}}$不可逆。
B. V+H：由于V+H的行列式一定不为零，因此V+H可逆。
C. $H-\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {C}}}}$：根据题设，$|E+A|=|E-A|=|2E-A|=0$，因此$H-\underset {H}{\overset {H}{\underset {..}{\ddot {C}}}}$不可逆。
D. 2E-A：根据题设，$|E+A|=|E-A|=|2E-A|=0$，因此2E-A不可逆。