题目
3.设一质点受力作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy平面的距离成反比.若质点沿直线-|||-=at, =bt, =c( tneq 0) 从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c),求力所做的功.
题目解答
答案
答案: -\\frac{k}{c}\\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\ln{2} 解析:设比例系数为R,则点到xy平面的距离为z,故 F=\\frac{k}{z} ,因为力的方向指向原点,故其方向余弦为 \\cos \\alpha=\\frac{-x}{r},\\cos \\beta=\\frac{-y}{r},\\cos \\gamma=\\frac{-z}{r} ,其中 r=\\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} 力的三个分力为 P=-\\frac{R}{z}\\cdot\\frac{x}{r},Q=-\\frac{R}{z}\\cdot\\frac{y}{r},R=-\\frac{k}{z}\\cdot\\frac{z}{r}W=-\\in{t}_{L}\\frac{kx}{zr}dx+\\frac{ky}{rz}dy+\\frac{k}{r}dz=-\\in{t}_{1}^{2}\\frac{k(a^{2}+b^{=}-\\frac{k}{c}\\in{t}_{1}^{2}\\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\\frac{1}{t}dt=-\\frac{k}{c}\\sqrt{a^{2}+ 知识点:第二型曲线积分
解析
步骤 1：确定力的大小和方向
力的大小与质点到xy平面的距离成反比，即力的大小为 \( F = \frac{k}{z} \)，其中 \( k \) 是比例常数，\( z \) 是质点到xy平面的距离。力的方向指向原点，因此力的分量为 \( P = -\frac{kx}{zr} \)，\( Q = -\frac{ky}{zr} \)，\( R = -\frac{kz}{zr} \)，其中 \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)。
步骤 2：计算力的分量
质点沿直线 \( x = at \)，\( y = bt \)，\( z = ct \) 移动，因此力的分量为 \( P = -\frac{k(at)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}} \)，\( Q = -\frac{k(bt)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}} \)，\( R = -\frac{k(ct)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}} \)。
步骤 3：计算力所做的功
力所做的功为 \( W = \int_{L} Pdx + Qdy + Rdz \)。将力的分量代入，得到 \( W = -\int_{1}^{2} \frac{k(at)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}}adt - \int_{1}^{2} \frac{k(bt)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}}bdt - \int_{1}^{2} \frac{k(ct)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}}cdt \)。化简后得到 \( W = -\frac{k}{c} \int_{1}^{2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \frac{1}{t} dt \)。计算积分得到 \( W = -\frac{k}{c} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \ln{2} \)。
力的大小与质点到xy平面的距离成反比，即力的大小为 \( F = \frac{k}{z} \)，其中 \( k \) 是比例常数，\( z \) 是质点到xy平面的距离。力的方向指向原点，因此力的分量为 \( P = -\frac{kx}{zr} \)，\( Q = -\frac{ky}{zr} \)，\( R = -\frac{kz}{zr} \)，其中 \( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)。
步骤 2：计算力的分量
质点沿直线 \( x = at \)，\( y = bt \)，\( z = ct \) 移动，因此力的分量为 \( P = -\frac{k(at)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}} \)，\( Q = -\frac{k(bt)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}} \)，\( R = -\frac{k(ct)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}} \)。
步骤 3：计算力所做的功
力所做的功为 \( W = \int_{L} Pdx + Qdy + Rdz \)。将力的分量代入，得到 \( W = -\int_{1}^{2} \frac{k(at)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}}adt - \int_{1}^{2} \frac{k(bt)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}}bdt - \int_{1}^{2} \frac{k(ct)}{ct\sqrt{(at)^2 + (bt)^2 + (ct)^2}}cdt \)。化简后得到 \( W = -\frac{k}{c} \int_{1}^{2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \frac{1}{t} dt \)。计算积分得到 \( W = -\frac{k}{c} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \ln{2} \)。