9.设平面区域D由曲线 =dfrac (1)(x) 及直线 y=0 =1, =(e)^2 围成,二维随机变量(X,Y)在区-|||-域D上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fy(y ).

考查要点：本题主要考查二维均匀分布的边缘概率密度的计算，涉及二重积分的应用及分段函数的处理。

解题核心思路：

1. 确定区域D的形状：由曲线$y=\dfrac{1}{x}$、直线$y=0$、$x=1$和$x=e^2$围成，明确积分上下限。
2. 计算区域面积：通过积分求出区域D的面积，从而确定联合概率密度函数$f(x,y)$。
3. 边缘概率密度的积分方法：
   • $f_X(x)$：对$y$积分，注意$y$的范围随$x$变化。
   • $f_Y(y)$：对$x$积分，需分段讨论$y$的范围对$x$积分区间的影响。

破题关键点：

• 区域面积计算：正确积分$\int_{1}^{e^2} \dfrac{1}{x} dx$。
• 分段讨论$y$的范围：当$0 < y < e^{-2}$时，$x$的范围是$[1, e^2]$；当$e^{-2} < y < 1$时，$x$的范围是$[1, \dfrac{1}{y}]$。

步骤1：计算区域D的面积

区域D的面积为：
$A = \int_{1}^{e^2} \dfrac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{1}^{e^2} = 2 - 0 = 2.$
因此，联合概率密度函数为：
$f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{1}{2}, & 1 \leq x \leq e^2, \, 0 \leq y \leq \dfrac{1}{x}, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$

步骤2：求边缘概率密度$f_X(x)$

对$y$积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \int_{0}^{1/x} \dfrac{1}{2} dy = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x}, \quad 1 \leq x \leq e^2.$

步骤3：求边缘概率密度$f_Y(y)$

对$x$积分，需分段讨论：

1. 当$0 \leq y \leq e^{-2}$时：
   $x$的范围是$[1, e^2]$，因此：
   $f_Y(y) = \int_{1}^{e^2} \dfrac{1}{2} dx = \dfrac{1}{2}(e^2 - 1).$

2. 当$e^{-2} < y < 1$时：
   $x$的范围是$[1, \dfrac{1}{y}]$，因此：
   $f_Y(y) = \int_{1}^{1/y} \dfrac{1}{2} dx = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y} - 1\right).$

3. 其他情况：$f_Y(y) = 0$。