4【填空题】曲面z=4-x^2-y^2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0。则点P坐标为(a,b,c)。这里a=____,b=____,c=____我的答案：第一空：1第二空：1第三空：2

本题考查曲面的切平面与平面平行的相关知识，解题的关键思路是利用曲面的梯度与切平面法向量的关系，以及两平面平行则法向量平行这一性质来求解点的坐标。

1. 首先，设$F(x,y,z)=4 - x^{2}-y^{2}-z$，对于曲面$z = 4 - x^{2}-y^{2}$，其在某点的法向量可以通过求$F(x,y,z)$的梯度$\nabla F$得到。
   • 根据梯度公式$\nabla F=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$，对$F(x,y,z)$求偏导数：
     • $\frac{\partial F}{\partial x}=-2x$；
     • $\frac{\partial F}{\partial y}=-2y$；
     • $\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。
   • 所以$\nabla F = (-2x,-2y,-1)$，此即为曲面$z = 4 - x^{2}-y^{2}$在点$(x,y,z)$处的法向量。
2. 然后，对于平面$2x + 2y+z - 1 = 0$，其法向量$\vec{n}=(2,2,1)$。
   • 因为曲面$z = 4 - x^{2}-y^{2}$上点$P$处的切平面平行于平面$2x + 2y + z - 1 = 0$，根据两平面平行则它们的法向量平行的性质，可知曲面在点$P$处的法向量$\nabla F$与平面$2x + 2y + z - 1 = 0$的法向量$\vec{n}$平行。
   • 若两个向量$\vec{A}=(x_1,y_1,z_1)$和$\vec{B}=(x_2,y_2,z_2)$平行，则存在实数$k$，使得$\vec{A}=k\vec{B}$。所以$(-2x,-2y,-1)=k(2,2,1)$。
   • 由此可得方程组$\begin{cases}-2x = 2k\\-2y = 2k\\-1 = k\end{cases}$。
   • 由$-1 = k$，将$k=-1$代入$-2x = 2k$，可得$-2x=2\times(-1)$，解得$x = 1$；将$k = -1$代入$-2y = 2k$，可得$-2y=2\times(-1)$，解得$y = 1$。
3. 最后，将$x = 1$，$y = 1$代入曲面方程$z = 4 - x^{2}-y^{2}$，可得$z=4 - 1^{2}-1^{2}=4 - 1 - 1=2$。