（）3、函数f(x,y)=}(xy)/(sqrt(x^2)+y^(2)),(x,y)neq(0,0)0,(x,y)=(0,0),则f(x,y)在(0,0)处A. 连续、偏导存在B. 连续、偏导不存在C. 不连续、偏导存在D. 不连续、偏导不存在

本题主要考查函数在某点的连续性和偏导数的存在性。解题思路是先判断函数在$(0,0)$处的连续性，再判断函数在$(0,0)$处的偏导数是否存在。

1. 判断函数$f(x,y)$在$(0,0)$处的连续性

函数在某点连续的定义为$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$。
已知$f(0,0) = 0$，下面求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$，即$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$。
利用极坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则$\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r$，当$(x,y)\to(0,0)$时，$r\to0$。
此时$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\lim\limits_{r\to0}\frac{r\cos\theta\cdot r\sin\theta}{r}$
$=\lim\limits_{r\to0}r\cos\theta\sin\theta$
因为$\vert\cos\theta\sin\theta\vert\leqslant1$，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，可得$\lim\limits_{r\to0}r\cos\theta\sin\theta = 0$。
即$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，所以函数$f(x,y)$在$(0,0)$处连续。

2. 判断函数$f(x,y)$在$(0,0)$处的偏导数是否存在

• 求$f_x(0,0)$：
  根据偏导数的定义$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$。
  将$f(0+\Delta x,0)=\frac{(\Delta x)\cdot0}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+0^{2}}}=0$，$f(0,0)=0$代入上式可得：
  $f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{0 - 0}{\Delta x}=0$
• 求$f_y(0,0)$：
  同理，根据偏导数的定义$f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}$。
  将$f(0,0+\Delta y)=\frac{0\cdot(\Delta y)}{\sqrt{0^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$，$f(0,0)=0$代入上式可得：
  $f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{0 - 0}{\Delta y}=0$

所以函数$f(x,y)$在$(0,0)$处的偏导数存在。

综上，函数$f(x,y)$在$(0,0)$处连续且偏导存在。