题目
求下列各微分方程的通解:-|||-(7) (y)^11+2(y)^12=0 ;-|||-(8) ^3(y)^11-1=0 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解微分方程 $y{y}^{11}+2{y}^{12}=0$
首先，我们观察到这是一个二阶微分方程，其中 $y^{11}$ 表示 $y$ 的二阶导数，$y^{12}$ 表示 $y$ 的三阶导数。我们可以通过引入新的变量来简化方程。令 $p = y'$，则 $y^{11} = p'$，$y^{12} = p\dfrac{dp}{dy}$。将这些代入原方程，得到 $yp' + 2p\dfrac{dp}{dy} = 0$。分离变量，得到 $\dfrac{dp}{p} = -2\dfrac{dy}{y}$。积分得 $\ln|p| = \ln\dfrac{1}{y^2} + \ln C_0$，即 $y' = p = \dfrac{C_0}{y^2}$。分离变量，得 $y^2dy = C_0dx$。积分得 $y^3 = 3C_0x + C_2$，即通解为 $y^3 = C_1x + C_2$。
步骤 2：求解微分方程 ${y}^{3}{y}^{11}-1=0$
同样，我们引入新的变量 $p = y'$，则 $y^{11} = p\dfrac{dp}{dy}$。将这些代入原方程，得到 $y^3p\dfrac{dp}{dy} - 1 = 0$。分离变量，得到 $pdp = \dfrac{1}{y^3}dy$。积分得 $p^2 = -\dfrac{1}{y^2} + C_1$，故 $y' = p = \pm \sqrt{C_1 - \dfrac{1}{y^2}} = \pm \dfrac{1}{|y|}\sqrt{C_1y^2 - 1}$。分离变量，得 $\dfrac{|y|dy}{\sqrt{C_1y^2 - 1}} = \pm dx$。由于 $|y| = y\text{sgn}(y)$，故上式两端积分，得 $\text{sgn}(y)\int \dfrac{ydy}{\sqrt{C_1y^2 - 1}} = \pm \int dx$。积分得 $\sqrt{C_1y^2 - 1} = \pm C_1x + C_2$。两边平方，得 $C_1y^2 - 1 = (C_1x + C_2)^2$。
首先，我们观察到这是一个二阶微分方程，其中 $y^{11}$ 表示 $y$ 的二阶导数，$y^{12}$ 表示 $y$ 的三阶导数。我们可以通过引入新的变量来简化方程。令 $p = y'$，则 $y^{11} = p'$，$y^{12} = p\dfrac{dp}{dy}$。将这些代入原方程，得到 $yp' + 2p\dfrac{dp}{dy} = 0$。分离变量，得到 $\dfrac{dp}{p} = -2\dfrac{dy}{y}$。积分得 $\ln|p| = \ln\dfrac{1}{y^2} + \ln C_0$，即 $y' = p = \dfrac{C_0}{y^2}$。分离变量，得 $y^2dy = C_0dx$。积分得 $y^3 = 3C_0x + C_2$，即通解为 $y^3 = C_1x + C_2$。
步骤 2：求解微分方程 ${y}^{3}{y}^{11}-1=0$
同样，我们引入新的变量 $p = y'$，则 $y^{11} = p\dfrac{dp}{dy}$。将这些代入原方程，得到 $y^3p\dfrac{dp}{dy} - 1 = 0$。分离变量，得到 $pdp = \dfrac{1}{y^3}dy$。积分得 $p^2 = -\dfrac{1}{y^2} + C_1$，故 $y' = p = \pm \sqrt{C_1 - \dfrac{1}{y^2}} = \pm \dfrac{1}{|y|}\sqrt{C_1y^2 - 1}$。分离变量，得 $\dfrac{|y|dy}{\sqrt{C_1y^2 - 1}} = \pm dx$。由于 $|y| = y\text{sgn}(y)$，故上式两端积分，得 $\text{sgn}(y)\int \dfrac{ydy}{\sqrt{C_1y^2 - 1}} = \pm \int dx$。积分得 $\sqrt{C_1y^2 - 1} = \pm C_1x + C_2$。两边平方，得 $C_1y^2 - 1 = (C_1x + C_2)^2$。