题目
已知抛物线y2=2px（p＞0））的焦点为F，过F且倾斜角为(π)/(4)的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=12，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列四个命题中正确的是（ ）①QA⊥QB；②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则|PM|+|PF|的最小值为(5)/(2)；③(1)/((|{AF)|)}+(1)/((|{BF)|)}=2；④△AOB（O为坐标原点）的面积为3sqrt(2)． A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
已知抛物线y2=2px（p＞0））的焦点为F，过F且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=12，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列四个命题中正确的是（ ）
①QA⊥QB；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则|PM|+|PF|的最小值为$\frac{5}{2}$；
③$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}=2$；
④△AOB（O为坐标原点）的面积为$3\sqrt{2}$．
①QA⊥QB；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则|PM|+|PF|的最小值为$\frac{5}{2}$；
③$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}=2$；
④△AOB（O为坐标原点）的面积为$3\sqrt{2}$．
- A. ①③
- B. ②④
- C. ①②
- D. ③④
题目解答
答案
解：因为 l 过点 F 且倾斜角为$\frac{π}{4}$，所以直线 l 的方程为x=y+$\frac{p}{2}$，
与抛物线方程联立得 y2-2py-p2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=2p，y1y2=-p2，所以x1+x2=3p，x1x2=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∵|AB|=12，∴3p+p=12，∴p=3，
不妨设 y1＞0，当 y＞0 时，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，所以过点A的切线斜率为kA=y′|${}_{x={x}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$，
同理过点B的切线斜率为kB=y′|${}_{x={x}_{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$，
所以kAkB=-$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$=-$\frac{2}{p}$=-1，所以 QA⊥QB，故①正确；
设点 M 到准线的距离为d，若 M（1，1），则|PM|+|PF|≥d=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，当PM与x轴平行时不等式等号成立，则②正确．
$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2}{p}$=$\frac{2}{3}$，故③不正确；
S△OAB=$\frac{1}{2}$|OF|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{8{p}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，故④不正确；
故选：C．
与抛物线方程联立得 y2-2py-p2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=2p，y1y2=-p2，所以x1+x2=3p，x1x2=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∵|AB|=12，∴3p+p=12，∴p=3，
不妨设 y1＞0，当 y＞0 时，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，所以过点A的切线斜率为kA=y′|${}_{x={x}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$，
同理过点B的切线斜率为kB=y′|${}_{x={x}_{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}$，
所以kAkB=-$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$=-$\frac{2}{p}$=-1，所以 QA⊥QB，故①正确；
设点 M 到准线的距离为d，若 M（1，1），则|PM|+|PF|≥d=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，当PM与x轴平行时不等式等号成立，则②正确．
$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2}{p}$=$\frac{2}{3}$，故③不正确；
S△OAB=$\frac{1}{2}$|OF|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{8{p}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，故④不正确；
故选：C．
解析
步骤 1：确定直线l的方程
由于直线l过焦点F且倾斜角为$\frac{π}{4}$，所以直线l的斜率为1，焦点F的坐标为$(\frac{p}{2}, 0)$。因此，直线l的方程为$x=y+\frac{p}{2}$。
步骤 2：求解A、B两点的坐标
将直线l的方程$x=y+\frac{p}{2}$代入抛物线方程$y^{2}=2px$，得到$y^{2}=2p(y+\frac{p}{2})$，即$y^{2}-2py-p^{2}=0$。设A、B两点的坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则$y_1+y_2=2p$，$y_1y_2=-p^{2}$。因此，$x_1+x_2=3p$，$x_1x_2=\frac{p^{2}}{4}$。
步骤 3：计算|AB|的长度
根据抛物线的性质，$|AB|=x_1+x_2+p=4p$。已知$|AB|=12$，所以$4p=12$，解得$p=3$。
步骤 4：验证命题①
过A、B两点分别作抛物线的切线，交于点Q。根据抛物线的性质，切线的斜率分别为$\frac{1}{\sqrt{x_1}}$和$\frac{1}{\sqrt{x_2}}$。因此，切线的斜率之积为$-\frac{1}{\sqrt{x_1x_2}}=-\frac{2}{p}=-1$，所以QA⊥QB，命题①正确。
步骤 5：验证命题②
设点M到准线的距离为d，若M(1,1)，则|PM|+|PF|≥d=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，当PM与x轴平行时不等式等号成立，所以命题②正确。
步骤 6：验证命题③
$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{x_1+\frac{p}{2}}+\frac{1}{x_2+\frac{p}{2}}=\frac{x_1+x_2+p}{x_1x_2+\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^{2}}{4}}=\frac{2}{p}=\frac{2}{3}$，所以命题③不正确。
步骤 7：验证命题④
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}|OF|•|y_1-y_2|=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{(y_1+y_2)^{2}-4y_1y_2}=\frac{3}{4}\sqrt{8p^{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，所以命题④不正确。
由于直线l过焦点F且倾斜角为$\frac{π}{4}$，所以直线l的斜率为1，焦点F的坐标为$(\frac{p}{2}, 0)$。因此，直线l的方程为$x=y+\frac{p}{2}$。
步骤 2：求解A、B两点的坐标
将直线l的方程$x=y+\frac{p}{2}$代入抛物线方程$y^{2}=2px$，得到$y^{2}=2p(y+\frac{p}{2})$，即$y^{2}-2py-p^{2}=0$。设A、B两点的坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则$y_1+y_2=2p$，$y_1y_2=-p^{2}$。因此，$x_1+x_2=3p$，$x_1x_2=\frac{p^{2}}{4}$。
步骤 3：计算|AB|的长度
根据抛物线的性质，$|AB|=x_1+x_2+p=4p$。已知$|AB|=12$，所以$4p=12$，解得$p=3$。
步骤 4：验证命题①
过A、B两点分别作抛物线的切线，交于点Q。根据抛物线的性质，切线的斜率分别为$\frac{1}{\sqrt{x_1}}$和$\frac{1}{\sqrt{x_2}}$。因此，切线的斜率之积为$-\frac{1}{\sqrt{x_1x_2}}=-\frac{2}{p}=-1$，所以QA⊥QB，命题①正确。
步骤 5：验证命题②
设点M到准线的距离为d，若M(1,1)，则|PM|+|PF|≥d=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，当PM与x轴平行时不等式等号成立，所以命题②正确。
步骤 6：验证命题③
$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{x_1+\frac{p}{2}}+\frac{1}{x_2+\frac{p}{2}}=\frac{x_1+x_2+p}{x_1x_2+\frac{p}{2}(x_1+x_2)+\frac{p^{2}}{4}}=\frac{2}{p}=\frac{2}{3}$，所以命题③不正确。
步骤 7：验证命题④
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}|OF|•|y_1-y_2|=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{(y_1+y_2)^{2}-4y_1y_2}=\frac{3}{4}\sqrt{8p^{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，所以命题④不正确。