题目

【】4、设函数P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域G内具有连续的偏导数，且对任一全部含在G内的曲线L，曲线积分int_(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关，则以下说法中错误的是A. 对G内的任一闭曲线C，oint_(C)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0B. D为全含在G内的任一闭曲线C所围成的区域，iintlimits_(D)((partial Q)/(partial x)-(partial P)/(partial y))dxdy=0C. 表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内是某个二元函数的全微分D. (partial Q)/(partial y)=(partial P)/(partial x)在G内恒成立.

【】4、设函数P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域G内具有连续的偏导数，且对任一全部含在G内的曲线L，曲线积分$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$与路径无关，则以下说法中错误的是

A. 对G内的任一闭曲线C，$\oint_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

B. D为全含在G内的任一闭曲线C所围成的区域，$\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$

C. 表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内是某个二元函数的全微分

D. $\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial x}$在G内恒成立.

题目解答

答案

D. $\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial x}$在G内恒成立.

解析

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件及其等价命题，涉及格林定理、全微分方程等核心概念。

解题思路：

  1. 路径无关的等价条件：在单连通区域中，曲线积分与路径无关等价于以下条件：
    • 对任意闭曲线积分值为0；
    • 积分与路径无关的区域是保守场，存在势函数；
    • 偏导数满足$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$；
    • 格林公式对应的二重积分为0。
  2. 关键辨析：选项D中的$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial x}$并非路径无关的必要条件，需通过反例验证。

选项分析

选项A

正确性：正确。
依据：在单连通区域中，若曲线积分与路径无关，则对任意闭曲线$C$，$\oint_{C} P \, dx + Q \, dy = 0$。

选项B

正确性：正确。
依据：由格林定理，$\iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C} P \, dx + Q \, dy$。因闭合积分为0，故二重积分也为0。

选项C

正确性：正确。
依据：若曲线积分与路径无关，则存在函数$u(x,y)$，使得$du = P \, dx + Q \, dy$。

选项D

正确性：错误。
关键辨析：路径无关的必要条件是$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，而非$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial x}$。
反例：取$P(x,y) = 2xy$，$Q(x,y) = x^2$，则$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x = \frac{\partial P}{\partial y}$，但$\frac{\partial Q}{\partial y} = 0 \neq \frac{\partial P}{\partial x} = 2y$。