题目
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足overrightarrow(BP)=λoverrightarrow(BC)+μoverrightarrow(B{B)_(1)}，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ） A. 当λ=1时，△AB1P的周长为定值 B. 当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C. 当λ=(1)/(2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D. 当μ=(1)/(2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$+μ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
- A. 当λ=1时，△AB1P的周长为定值
- B. 当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
- C. 当λ=$\frac{1}{2}$时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
- D. 当μ=$\frac{1}{2}$时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
题目解答
答案
解：对于A，当λ=1时，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BC}$+μ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{CP}=μ\overrightarrow{B{B}_{1}}$，所以$\overrightarrow{CP}∥\overrightarrow{B{B}_{1}}$，
故点P在线段CC1上，此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP，
当点P为CC1的中点时，△AB1P的周长为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$，
当点P在点C1处时，△AB1P的周长为$2\sqrt{2}+1$，
故周长不为定值，故选项A错误；
对于B，当μ=1时，$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{{B}_{1}P}=λ\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{{B}_{1}P}∥\overrightarrow{BC}$，
故点P在线段B1C1上，
因为B1C1∥平面A1BC，
所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等，
又△A1BC的面积为定值，
所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故选项B正确；
对于C，当λ=$\frac{1}{2}$时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，
因为$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+μ\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{MP}=μ\overrightarrow{B{B}_{1}}$，所以$\overrightarrow{MP}∥\overrightarrow{B{B}_{1}}$，
则点P在线段M1M上，
当点P在M1处时，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，
又B1C1∩B1B=B1，所以A1M1⊥平面BB1C1C，
又BM1⊂平面BB1C1C，所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，
同理，当点P在M处，A1P⊥BP，故选项C错误；
对于D，当μ=$\frac{1}{2}$时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，
因为$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{DP}∥\overrightarrow{BC}$，
则点P在线的DD1上，
当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E，BE，
因为BE⊥平面ACC1A1，又AD1⊂平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，
在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，
又BE∩A1E=E，BE，A1E⊂平面A1BE，
故AD1⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以A1B⊥AD1，
在正方体形ABB1A1中，A1B⊥AB1，
又AD1∩AB1=A，AD1，AB1⊂平面AB1D1，所以A1B⊥平面AB1D1，
因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故选项D正确．
故选：BD．
故点P在线段CC1上，此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP，
当点P为CC1的中点时，△AB1P的周长为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$，
当点P在点C1处时，△AB1P的周长为$2\sqrt{2}+1$，
故周长不为定值，故选项A错误；
对于B，当μ=1时，$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{{B}_{1}P}=λ\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{{B}_{1}P}∥\overrightarrow{BC}$，
故点P在线段B1C1上，
因为B1C1∥平面A1BC，
所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等，
又△A1BC的面积为定值，
所以三棱锥P-A1BC的体积为定值，故选项B正确；
对于C，当λ=$\frac{1}{2}$时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，
因为$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+μ\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{MP}=μ\overrightarrow{B{B}_{1}}$，所以$\overrightarrow{MP}∥\overrightarrow{B{B}_{1}}$，
则点P在线段M1M上，
当点P在M1处时，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，
又B1C1∩B1B=B1，所以A1M1⊥平面BB1C1C，
又BM1⊂平面BB1C1C，所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，
同理，当点P在M处，A1P⊥BP，故选项C错误；
对于D，当μ=$\frac{1}{2}$时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，
因为$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}_{1}}$，即$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{DP}∥\overrightarrow{BC}$，
则点P在线的DD1上，
当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E，BE，
因为BE⊥平面ACC1A1，又AD1⊂平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，
在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，
又BE∩A1E=E，BE，A1E⊂平面A1BE，
故AD1⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以A1B⊥AD1，
在正方体形ABB1A1中，A1B⊥AB1，
又AD1∩AB1=A，AD1，AB1⊂平面AB1D1，所以A1B⊥平面AB1D1，
因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故选项D正确．
故选：BD．
解析
本题考查正三棱柱中的向量表达、几何性质及空间关系，涉及向量线性组合确定点的位置、三角形周长计算、棱锥体积计算、线面垂直判定等核心知识点。解题关键在于：
- 通过向量表达确定点P的位置，结合参数λ、μ的取值范围分析几何特征；
- 利用几何体的对称性（如平行线段、中位线等）简化计算；
- 体积定值的判定需结合底面积与高的关系；
- 垂直关系的存在性需通过几何条件（如唯一性定理）或代数验证。
选项A分析
当λ=1时，$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + \mu \overrightarrow{BB_1}$，即点P在线段CC₁上。此时△AB₁P的周长由AB₁、B₁P、AP构成：
- AB₁为定值$\sqrt{2}$（正三棱柱侧棱与底面边长均为1）；
- B₁P和AP随P位置变化，例如：
- P为CC₁中点时，周长为$\sqrt{5} + \sqrt{2}$；
- P在C₁处时，周长为$2\sqrt{2} + 1$；
- 周长不为定值，故选项A错误。
选项B分析
当μ=1时，$\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1}$，即点P在线段B₁C₁上。由于B₁C₁∥平面A₁BC，且B₁C₁上所有点到平面A₁BC的距离相等，而底面积△A₁BC为定值，故棱锥体积为定值，选项B正确。
选项C分析
当λ=1/2时，$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \mu \overrightarrow{BB_1}$，点P在线段M₁M上（M、M₁为BC、B₁C₁的中点）。若A₁P⊥BP，则需满足：
- 当P在M₁或M处时，A₁P分别与B₁C₁、BB₁垂直，存在两个不同点满足条件；
- 故选项C错误。
选项D分析
当μ=1/2时，$\overrightarrow{BP} = \lambda \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB_1}$，点P在线段DD₁上（D、D₁为BB₁、CC₁的中点）。若A₁B⊥平面AB₁P，则需：
- 平面AB₁P的法向量与A₁B平行；
- 由正三棱柱对称性，唯一存在点P（即D₁）满足条件，选项D正确。