题目
简答题(共1题，20.0分)11. (20.0分) 求微分方程y"-8y'+7y=0的通解。
简答题(共1题，20.0分)
11. (20.0分) 求微分方程y"-8y'+7y=0的通解。
题目解答
答案
为了求解微分方程 $ y'' - 8y' + 7y = 0 $ 的通解，我们首先需要找到该微分方程的特征方程。对于一个二阶线性齐次微分方程 $ ay'' + by' + cy = 0 $，其特征方程为 $ ar^2 + br + c = 0 $。在本例中， $ a = 1 $， $ b = -8 $， $ c = 7 $，所以特征方程为：
\[ r^2 - 8r + 7 = 0 \]
接下来，我们解这个二次方程。可以将它因式分解为：
\[ (r - 1)(r - 7) = 0 \]
因此，特征方程的根为 $ r_1 = 1 $ 和 $ r_2 = 7 $。对于一个二阶线性齐次微分方程，如果特征方程有两个不同的实根 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，那么微分方程的通解为：
\[ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]
其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是任意常数。将 $ r_1 = 1 $ 和 $ r_2 = 7 $ 代入，我们得到通解为：
\[ y = C_1 e^x + C_2 e^{7x} \]
因此，微分方程 $ y'' - 8y' + 7y = 0 $ 的通解是：
\[ \boxed{C_1 e^x + C_2 e^{7x}} \]
解析
步骤 1：确定特征方程
对于微分方程 $y'' - 8y' + 7y = 0$，其特征方程为 $r^2 - 8r + 7 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程 $r^2 - 8r + 7 = 0$，我们得到 $(r - 1)(r - 7) = 0$，因此特征方程的根为 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 7$。
步骤 3：写出通解
由于特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。将 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 7$ 代入，我们得到通解为 $y = C_1 e^x + C_2 e^{7x}$。
对于微分方程 $y'' - 8y' + 7y = 0$，其特征方程为 $r^2 - 8r + 7 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程 $r^2 - 8r + 7 = 0$，我们得到 $(r - 1)(r - 7) = 0$，因此特征方程的根为 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 7$。
步骤 3：写出通解
由于特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。将 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 7$ 代入，我们得到通解为 $y = C_1 e^x + C_2 e^{7x}$。