题目
4、设曲线Γ的方程为x=acos t,y=asin t,z=at,0le tle 2pi,则第一类曲线积分int_(Gamma)(z^2)/(x^2)+y^(2)ds=_____.
4、设曲线$Γ$的方程为$x=a\cos t,y=a\sin t,z=at,0\le t\le 2\pi$,则第一类曲线积分
$\int_{\Gamma}\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}ds=$_____.
题目解答
答案
将曲线参数化为 $x = a \cos t$，$y = a \sin t$，$z = at$，其中 $0 \le t \le 2\pi$。
计算弧长元素：
\[ ds = \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2 + a^2} \, dt = a\sqrt{2} \, dt. \]
被积函数转换为：
\[ \frac{z^2}{x^2 + y^2} = \frac{(at)^2}{a^2} = t^2. \]
代入曲线积分：
\[ \int_{0}^{2\pi} t^2 \cdot a\sqrt{2} \, dt = a\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} t^2 \, dt = a\sqrt{2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{8a\sqrt{2}\pi^3}{3}. \]
**答案：** $\boxed{\frac{8a\sqrt{2}\pi^3}{3}}$