题目
5.设n维列向量组α1,α2,···, _(m)(mlt n) 线性无关,则n维列向量组β1,···β2,···,Bn线性无-|||-关的充分必要条件为 () 。-|||-(A)向量组α1,α 2,···,αm可由向量组β 1,β2,···,βm线性表示-|||-(B)向量组β,p2,···,Bn可由向量组a1,a2,···,am线性表示-|||-(C)向量组a1,a2,···,an与向量组β1,β2,···,,Bm等价-|||-(D)矩阵 =((a)_(1),(a)_(2),... ,(a)_(m)) 与矩阵 =((beta )_(1),(beta )_(2),... ,(beta )_(m)) 等价
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解向量组线性无关的定义
向量组线性无关意味着没有一个向量可以被其他向量线性表示。换句话说，如果向量组中的向量是线性无关的，那么它们不能通过其他向量的线性组合来表示。
步骤 2：分析选项
(A) 向量组α1,α2,···,am可由向量组β1,β2,···,Bm线性表示
如果向量组α1,α2,···,am可由向量组β1,β2,···,Bm线性表示，那么向量组α1,α2,···,am的秩不会超过向量组β1,β2,···,Bm的秩。但是，这并不能保证向量组β1,β2,···,Bm线性无关。
(B) 向量组β1,β2,···βm可由向量组α1,α2,···,am线性表示
如果向量组β1,β2,···βm可由向量组α1,α2,···,am线性表示，那么向量组β1,β2,···βm的秩不会超过向量组α1,α2,···,am的秩。但是，这并不能保证向量组β1,β2,···βm线性无关。
(C) 向量组α1,α2,···,αm与向量组β1,β2,···,βm等价
如果向量组α1,α2,···,αm与向量组β1,β2,···,βm等价，那么它们的秩相等。但是，这并不能保证向量组β1,β2,···,βm线性无关。
(D) 矩阵 $A=({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m})$ 与矩阵 $B=({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{m})$ 等价
如果矩阵 $A=({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m})$ 与矩阵 $B=({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{m})$ 等价，那么它们的秩相等。由于向量组α1,α2,···,am线性无关，所以矩阵A的秩为m。因此，矩阵B的秩也为m，这意味着向量组β1,β2,···,βm线性无关。
向量组线性无关意味着没有一个向量可以被其他向量线性表示。换句话说，如果向量组中的向量是线性无关的，那么它们不能通过其他向量的线性组合来表示。
步骤 2：分析选项
(A) 向量组α1,α2,···,am可由向量组β1,β2,···,Bm线性表示
如果向量组α1,α2,···,am可由向量组β1,β2,···,Bm线性表示，那么向量组α1,α2,···,am的秩不会超过向量组β1,β2,···,Bm的秩。但是，这并不能保证向量组β1,β2,···,Bm线性无关。
(B) 向量组β1,β2,···βm可由向量组α1,α2,···,am线性表示
如果向量组β1,β2,···βm可由向量组α1,α2,···,am线性表示，那么向量组β1,β2,···βm的秩不会超过向量组α1,α2,···,am的秩。但是，这并不能保证向量组β1,β2,···βm线性无关。
(C) 向量组α1,α2,···,αm与向量组β1,β2,···,βm等价
如果向量组α1,α2,···,αm与向量组β1,β2,···,βm等价，那么它们的秩相等。但是，这并不能保证向量组β1,β2,···,βm线性无关。
(D) 矩阵 $A=({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m})$ 与矩阵 $B=({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{m})$ 等价
如果矩阵 $A=({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m})$ 与矩阵 $B=({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{m})$ 等价，那么它们的秩相等。由于向量组α1,α2,···,am线性无关，所以矩阵A的秩为m。因此，矩阵B的秩也为m，这意味着向量组β1,β2,···,βm线性无关。