题目

求极限 lim _(n arrow infty) (sqrt(n^2)+a^(2))/(n)=________.

求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=\_\_\_\_\_\_\_\_$.

题目解答

答案

将原式分子分母同除以 $n$，得 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^2 + a^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}}. \] 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{a^2}{n^2} \to 0$，故 \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{a^2}{n^2}} = \sqrt{1 + 0} = 1. \] 因此，极限为 $1$。 答案：$1$。

解析

本题考查数列极限的计算，解题思路是通过对原式进行变形，将其转化为可以直接利用极限运算法则求解的形式。

  1. 首先，对原式$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}$进行变形，分子分母同时除以$n$：
    • 因为$\frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=\sqrt{\frac{n^{2}+a^{2}}{n^{2}}}$（根据根式的性质$\frac{\sqrt{m}}{n}=\sqrt{\frac{m}{n^{2}}}$，这里$m = n^{2}+a^{2}$），所以$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n^{2}+a^{2}}{n^{2}}}$。
    • 又因为$\frac{n^{2}+a^{2}}{n^{2}}=\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{a^{2}}{n^{2}} = 1+\frac{a^{2}}{n^{2}}$，所以$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n^{2}+a^{2}}{n^{2}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{a^{2}}{n^{2}}}$。
  2. 然后，根据极限的运算法则，当$n \to \infty$时，分析$\frac{a^{2}}{n^{2}}$的极限：
    • 对于常数$a$，$a^{2}$也是常数，当$n\to\infty$时，$n^{2}\to\infty$，那么$\frac{a^{2}}{n^{2}}\to0$（根据极限的性质，当分子为常数，分母趋于无穷大时，分式的值趋于$0$）。
  3. 最后，再根据复合函数的极限运算法则求$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{a^{2}}{n^{2}}}$的值：
    • 令$t = 1+\frac{a^{2}}{n^{2}}$，当$n\to\infty$时，$t\to1$，则$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{a^{2}}{n^{2}}}=\lim _{t \rightarrow 1} \sqrt{t}$。
    • 根据根式函数$y = \sqrt{t}$在$t = 1$处连续，所以$\lim _{t \rightarrow 1} \sqrt{t}=\sqrt{1}=1$。