设 Ax=b 的系数矩阵 A=} 10 & -2 & -1 -2 & 10 & -1 -1 & -2 & 5 ，判断 Jacobi 迭代法和 G-S 迭代法的收敛性(）（雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性）A. Jacobi 收敛B. G-S 收敛C. 都不收敛D. 都收敛

考查要点：本题主要考查Jacobi迭代法和G-S迭代法的收敛性条件，以及如何通过系数矩阵的性质判断迭代法的收敛性。

解题核心思路：

1. Jacobi迭代法收敛性：当系数矩阵$A$是严格对角占优矩阵时，Jacobi迭代法收敛。
2. G-S迭代法收敛性：当$A$是严格对角占优矩阵或对称正定矩阵时，G-S迭代法收敛。
3. 关键步骤：验证矩阵$A$是否严格对角占优，或是否对称正定。

破题关键点：

• 严格对角占优：每一行的对角元素绝对值大于该行其他元素绝对值之和。
• 对称正定：矩阵对称且所有顺序主子式为正。

严格对角占优验证

矩阵$A$的三行验证如下：

1. 第一行：$|10| = 10 > |{-2}| + |{-1}| = 3$；
2. 第二行：$|10| = 10 > |{-2}| + |{-1}| = 3$；
3. 第三行：$|5| = 5 > |{-2}| + |{-1}| = 3$。

结论：矩阵$A$是严格对角占优矩阵。

迭代法收敛性判断

1. Jacobi迭代法：因$A$严格对角占优，Jacobi迭代法收敛。
2. G-S迭代法：因$A$严格对角占优且对称正定（对称且对角线正，各阶主子式正），G-S迭代法也收敛。