题目
已知alpha_(1)=[1,2],alpha_(2)=[2,3],alpha_(3)=[4,3]线性相关，则alpha_(1)=[1,2],alpha_(2)=[2,3],alpha_(3)=[4,3],alpha_(4)=[1,0]线性____.
已知$\alpha_{1}=[1,2],\alpha_{2}=[2,3],\alpha_{3}=[4,3]$线性相关，则$\alpha_{1}=[1,2],\alpha_{2}=[2,3],\alpha_{3}=[4,3],\alpha_{4}=[1,0]$线性____.
题目解答
答案
已知向量 $\alpha_1 = [1, 2]$，$\alpha_2 = [2, 3]$，$\alpha_3 = [4, 3]$ 线性相关，即存在不全为零的实数 $k_1, k_2, k_3$ 使得
\[ k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0. \]
对于向量 $\alpha_4 = [1, 0]$，取 $k_4 = 0$，则
\[ k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_4 \alpha_4 = 0, \]
其中 $k_1, k_2, k_3$ 不全为零，满足线性相关定义。或者，由于二维空间中最多有2个线性无关向量，4个向量必相关。
**答案：相关**
解析
步骤 1：理解线性相关性
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，意味着存在不全为零的实数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0$。
步骤 2：引入 $\alpha_4$
考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，其中 $\alpha_4 = [1, 0]$。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 已经线性相关，我们可以找到一组不全为零的系数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0$。令 $k_4 = 0$，则有 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_4 \alpha_4 = 0$，其中 $k_1, k_2, k_3$ 不全为零，满足线性相关定义。
步骤 3：考虑二维空间的性质
在二维空间中，最多只能有2个线性无关的向量。因此，任何超过2个的向量组在二维空间中必然是线性相关的。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是4个向量，它们在二维空间中必然是线性相关的。
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，意味着存在不全为零的实数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0$。
步骤 2：引入 $\alpha_4$
考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$，其中 $\alpha_4 = [1, 0]$。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 已经线性相关，我们可以找到一组不全为零的系数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 = 0$。令 $k_4 = 0$，则有 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3 + k_4 \alpha_4 = 0$，其中 $k_1, k_2, k_3$ 不全为零，满足线性相关定义。
步骤 3：考虑二维空间的性质
在二维空间中，最多只能有2个线性无关的向量。因此，任何超过2个的向量组在二维空间中必然是线性相关的。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是4个向量，它们在二维空间中必然是线性相关的。