方程 y' - 2y' + 2y = mathrm(e)^x (x cos x + 2 sin x) 特解的形式为(）.A. y^* = mathrm(e)^x [(Ax + B)cos x + C sin x]B. y^* = mathrm(e)^x [(Ax + B)cos x + (Cx + D)sin x]C. y^* = mathrm(e)^x (Ax cos x + C sin x)D. y^* = xe^x [(Ax + B)cos x + (Cx + D)sin x]

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程特解形式的确定方法，涉及特征方程的求解、非齐次项与齐次解的关系，以及特解构造时的调整规则。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程的特征根：通过特征方程找到对应的复数根，判断齐次解的形式。
2. 分析非齐次项的结构：将非齐次项分解为指数、多项式和三角函数的组合形式。
3. 判断特解调整规则：若非齐次项与齐次解重复，则特解需乘以因子$x^k$（$k$为重根次数）。

破题关键点：

• 特征根与非齐次项的匹配：非齐次项中的$e^x(\cos x + 2\sin x)$对应复数根$1 \pm i$，与齐次解重复，需引入因子$x$。
• 多项式次数的确定：非齐次项中的$x$为一次多项式，特解中的多项式部分需保持同次数。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为$y'' - 2y' + 2y = 0$，其特征方程为：
$r^2 - 2r + 2 = 0$
解得复数根：
$r = 1 \pm i$
因此，齐次解形式为：
$y_h = e^x (C_1 \cos x + C_2 \sin x)$

步骤2：分析非齐次项的结构

非齐次项为$e^x (x \cos x + 2 \sin x)$，可分解为：

• 指数因子：$e^x$（对应复数根的实部$\alpha = 1$）
• 三角函数：$\cos x$和$\sin x$（对应复数根的虚部$\beta = 1$）
• 多项式：$x$（一次多项式）

步骤3：确定特解形式

由于非齐次项中的$e^x (\cos x + 2 \sin x)$与齐次解$e^x (\cos x + \sin x)$重复，且复数根$1 \pm i$为单根，特解需乘以因子$x$。进一步，非齐次项中的多项式为$x$（一次），特解形式应为：
$y^* = x e^x \left[ (Ax + B) \cos x + (Cx + D) \sin x \right]$

选项匹配

选项D的特解形式满足上述构造规则，因此正确答案为D。