10.证明下列事件的运算公式:()-|||-(1) =ABcup Aoverline (B); __-|||-(2) cup B=Acup overline (A)B.

考查要点：本题主要考查事件运算的基本定律，特别是分配律和结合律的应用，以及如何通过分解事件来证明等式成立。

解题核心思路：

1. 分解事件：将事件分解为与另一事件及其补集的组合形式。
2. 利用分配律：通过分配律将复杂表达式转化为简单形式。
3. 验证等价性：通过逻辑推导证明左右两边的事件包含关系。

破题关键点：

• 第（1）题：将事件$A$与必然事件$B \cup \overline{B}$结合，展开后得到$AB \cup A\overline{B}$。
• 第（2）题：通过吸收律或分配律，将右边表达式转化为左边形式。

第（1）题：证明 $A = AB \cup A\overline{B}$

步骤1：引入必然事件

由于$B \cup \overline{B} = \Omega$（必然事件），因此：
$A = A \cap (B \cup \overline{B})$

步骤2：应用分配律

根据分配律$A \cap (B \cup C) = AB \cup AC$，展开得：
$A \cap (B \cup \overline{B}) = AB \cup A\overline{B}$

步骤3：结论

因此，$A = AB \cup A\overline{B}$。

第（2）题：证明 $A \cup B = A \cup \overline{A}B$

步骤1：分析右边表达式

右边表达式为$A \cup \overline{A}B$，可理解为：

• 当$A$发生时，无论$B$是否发生，结果都包含在$A$中；
• 当$A$不发生时（即$\overline{A}$发生），必须$B$发生才能被包含。

步骤2：应用吸收律

根据吸收律$A \cup \overline{A}B = A \cup B$，因为：

• 若$A$发生，则直接包含在结果中；
• 若$A$不发生但$B$发生，则$\overline{A}B$补充包含$B$的部分。

步骤3：验证等价性

左边$A \cup B$与右边$A \cup \overline{A}B$的事件范围完全一致，因此等式成立。