题目

3.(单选题) 设曲线L是圆周x=Rcost,y=Rsint上对应于t从0到(pi)/(2)的一段弧，则int_(L)ydx+xdy=（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4

3.(单选题) 设曲线L是圆周x=Rcost,y=Rsint上对应于t从0到$\frac{\pi}{2}$的一段弧，则$\int_{L}ydx+xdy$=（ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. 4

题目解答

答案

为了求解曲线积分 $\int_{L} y \, dx + x \, dy$，其中 $L$ 是圆周 $x = R \cos t$，$y = R \sin t$ 上对应于 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧，我们可以按照以下步骤进行： 1. **参数化曲线 $L$:** - $x = R \cos t$ - $y = R \sin t$ - $t$ 的范围是 $0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ 2. **计算 $dx$ 和 $dy$:** - $dx = \frac{dx}{dt} \, dt = -R \sin t \, dt$ - $dy = \frac{dy}{dt} \, dt = R \cos t \, dt$ 3. **将 $x$，$y$，$dx$，和 $dy$ 代入积分表达式:** \[ \int_{L} y \, dx + x \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( R \sin t \cdot (-R \sin t) + R \cos t \cdot R \cos t \right) \, dt \] 4. **化简被积函数:** \[ R \sin t \cdot (-R \sin t) = -R^2 \sin^2 t \] \[ R \cos t \cdot R \cos t = R^2 \cos^2 t \] \[ -R^2 \sin^2 t + R^2 \cos^2 t = R^2 (\cos^2 t - \sin^2 t) \] 5. **使用三角恒等式 $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$:** \[ R^2 (\cos^2 t - \sin^2 t) = R^2 \cos 2t \] 6. **积分:** \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2 \cos 2t \, dt \] 7. **提取常数 $R^2$:** \[ R^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt \] 8. **计算积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt$:** \[ \int \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \sin 2t \] \[ \left. \frac{1}{2} \sin 2t \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \sin \pi - \sin 0 \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - 0 \right) = 0 \] 9. **将结果乘以 $R^2$:** \[ R^2 \cdot 0 = 0 \] 因此，曲线积分 $\int_{L} y \, dx + x \, dy$ 的值是 $\boxed{0}$。 正确答案是 $\boxed{C}$。

解析

本题考查对坐标的曲线积分的计算。解题思路是先根据曲线的参数方程求出$dx$和$dy$，然后将$x$、$y$、$dx$和$dy$代入曲线积分表达式，接着化简被积函数，再利用三角恒等式进一步化简，最后进行定积分的计算。

  1. 参数化曲线$L$：
    已知曲线$L$的参数方程为$x = R \cos t$，$y = R \sin t$，$t$的范围是$0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$。
  2. 计算$dx$和$dy$：
    对$x = R \cos t$求导，根据求导公式$(\cos t)^\prime=-\sin t$，可得$dx = \frac{dx}{dt} \, dt = -R \sin t \, dt$。
    对$y = R \sin t$求导，根据求导公式$(\sin t)^\prime=\cos t$，可得$dy = \frac{dy}{dt} \, dt = R \cos t \, dt$。
  3. 将$x$，$y$，$dx$，和$dy$代入积分表达式：
    $\begin{align*}\int_{L} y \, dx + x \, dy&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( R \sin t \cdot (-R \sin t) + R \cos t \cdot R \cos t \right) \, dt\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-R^2 \sin^2 t + R^2 \cos^2 t) \, dt\end{align*}$
  4. 化简被积函数：
    提取公因式$R^2$，可得$-R^2 \sin^2 t + R^2 \cos^2 t = R^2 (\cos^2 t - \sin^2 t)$。
  5. 使用三角恒等式$\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$：
    则$R^2 (\cos^2 t - \sin^2 t) = R^2 \cos 2t$，此时积分变为$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2 \cos 2t \, dt$。
  6. 提取常数$R^2$：
    $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2 \cos 2t \, dt = R^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt$。
  7. 计算积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt$：
    根据积分公式$\int \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \sin 2t$，则$\left. \frac{1}{2} \sin 2t \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \sin \pi - \sin 0 \right)$。
    因为$\sin \pi = 0$，$\sin 0 = 0$，所以$\frac{1}{2} \left( \sin \pi - \sin 0 \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - 0 \right) = 0$。
  8. 将结果乘以$R^2$：
    $R^2 \cdot 0 = 0$。