题目

17.(本题满分10分)求极限lim_(xto0)[(1+int_(0)^x(1+t)^frac(1)/(t)dt)(x)-(1)/(sin x)].

17.(本题满分10分) 求极限$\lim_{x\to0}\left[\frac{1+\int_{0}^{x}(1+t)^{\frac{1}{t}}dt}{x}-\frac{1}{\sin x}\right].$

题目解答

答案

设 $ f(x) = \int_{0}^{x} (1+t)^{\frac{1}{t}} \, dt $，则原极限可写为： \[ \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1 + f(x)}{x} - \frac{1}{\sin x} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + f(x)) \sin x - x}{x \sin x}. \] 由泰勒展开，$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，且 $f(x) \sim ex$（因 $(1+t)^{\frac{1}{t}} \to e$ 当 $t \to 0$），故： \[ (1 + f(x)) \sin x \sim (1 + ex) \left( x - \frac{x^3}{6} \right) \sim x + ex^2. \] 因此，极限变为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x + ex^2 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{ex^2}{x^2} = e. \] 或使用洛必达法则，两次求导后得相同结果。 **答案：** $\boxed{e}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及积分与三角函数的泰勒展开、等价无穷小替换以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

  1. 积分处理：当积分上限趋近于0时，被积函数$(1+t)^{1/t}$的极限为$e$，因此积分$\int_{0}^{x}(1+t)^{1/t}dt$可近似展开为$ex$的高阶泰勒多项式。
  2. 通分变形：将原式通分，转化为分子为$(1+\int_{0}^{x}(1+t)^{1/t}dt)\sin x - x$，分母为$x\sin x$的形式，便于展开和化简。
  3. 泰勒展开：对$\sin x$和积分部分分别展开到足够阶数，保留关键项后相减，消去低阶无穷小，最终得到极限值。

破题关键点：

  • 积分展开：利用泰勒展开将积分近似为$ex - \frac{e}{4}x^2$。
  • 分子展开：将分子展开到$x^2$项，分母展开到$x^2$项，通过相减消去低阶项，保留主部。

步骤1：通分变形
原式可变形为：
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \int_{0}^{x}(1+t)^{1/t}dt)\sin x - x}{x \sin x}.$

步骤2：泰勒展开

  1. 积分部分展开：
    当$t \to 0$时，$(1+t)^{1/t} \sim e - \frac{e}{2}t + \frac{11e}{24}t^2$，积分得：
    $\int_{0}^{x}(1+t)^{1/t}dt \sim ex - \frac{e}{4}x^2.$

  2. $\sin x$展开：
    $\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}.$

步骤3：分子展开
将积分和$\sin x$代入分子：
$\begin{aligned}(1 + ex - \frac{e}{4}x^2)(x - \frac{x^3}{6}) - x &\sim (1 + ex)(x) - x + \text{高阶项} \\&= ex^2.\end{aligned}$

步骤4：化简极限
分子为$ex^2$，分母为$x \cdot x = x^2$，故：
$\lim_{x \to 0} \frac{ex^2}{x^2} = e.$