题目
【解答题】求幂级数sum_(n=1)^infty(x^4n+1)/(4n+1)的收敛域及其和函数.
【解答题】求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}$的收敛域及其和函数.
题目解答
答案
**收敛域：**
使用比值判别法，得
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = |x|^4 < 1 \implies -1 < x < 1.
\]
端点 $x = \pm1$ 时，级数发散（与调和级数比较）。
**收敛域为 $(-1, 1)$。**
**和函数：**
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$，则
\[
S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{4n} = \frac{x^4}{1-x^4}.
\]
积分得
\[
S(x) = \int_0^x \frac{t^4}{1-t^4} \, dt = -x + \frac{1}{4} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + \frac{1}{2} \arctan x.
\]
**答案：**
收敛域：$(-1, 1)$
和函数：$\boxed{-x + \frac{1}{4} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) + \frac{1}{2} \arctan x}$
解析
步骤 1：确定收敛域
使用比值判别法，计算相邻项的比值的极限，以确定幂级数的收敛域。
步骤 2：计算比值的极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right|$，其中 $u_n(x) = \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$。
步骤 3：确定端点的收敛性
检查端点 $x = \pm1$ 处的级数是否收敛。
步骤 4：求和函数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$，计算 $S'(x)$，然后积分得到 $S(x)$。
使用比值判别法，计算相邻项的比值的极限，以确定幂级数的收敛域。
步骤 2：计算比值的极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right|$，其中 $u_n(x) = \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$。
步骤 3：确定端点的收敛性
检查端点 $x = \pm1$ 处的级数是否收敛。
步骤 4：求和函数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}$，计算 $S'(x)$，然后积分得到 $S(x)$。