题目

求极限lim _(n infty)((1)/(n^2)+n+1+(2)/(n^2)+n+2+...+(n)/(n^2)+n+n).

求极限$\lim _{n \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)$.

题目解答

答案

我们来求极限：

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + n + 1} + \frac{2}{n^2 + n + 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n + n} \right)$

第一步：分析结构

观察这个表达式，发现它是一个和式，形式为：

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + k}$

我们希望求出当 $ n \to \infty $ 时这个和式的极限。

第二步：尝试放缩或转化

我们注意到分母中有一个固定的 $ n^2 + n $，再加上一个变化的 $ k $，所以可以考虑将整个表达式进行放缩或者用积分近似。

我们尝试将这个和式写成更易处理的形式：

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n + 1) + k}$

注意：$ n^2 + n = n(n + 1) $，所以可以写成：

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n + 1) + k}$

第三步：提取公因式，化为积分形式

我们可以将这个和式看作一个黎曼和的近似。为此，我们提取一个 $ \frac{1}{n} $ 的因子，尝试构造一个积分。

令：

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n + 1) + k}$

我们尝试将 $ S_n $ 写成：

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n + 1)} \cdot \frac{1}{1 + \frac{k}{n(n + 1)}}$

因为 $ \frac{k}{n(n + 1)} $ 很小（因为 $ k \leq n $，而分母是 $ n(n+1) \approx n^2 $），我们可以用泰勒展开近似：

$\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x \quad \text{当 } x \text{ 很小时}$

所以：

$S_n \approx \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n + 1)} \left(1 - \frac{k}{n(n + 1)}\right) = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n(n + 1)} - \frac{k^2}{n^2(n + 1)^2} \right)$

分别计算这两个部分：

  1. 第一项：

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n(n + 1)} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{1}{2}$

  1. 第二项：

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^2(n + 1)^2} = \frac{1}{n^2(n + 1)^2} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n^2(n + 1)^2} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

化简：

$= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n^2(n + 1)^2} = \frac{2n + 1}{6n(n + 1)} \to 0 \quad \text{当 } n \to \infty$

所以：

$S_n \approx \frac{1}{2} - o(1)$

第四步：得出结论

因此，极限为：

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + n + 1} + \frac{2}{n^2 + n + 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n + n} \right) = \boxed{\frac{1}{2}}$

答案：

$\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的求解方法，特别是处理和式极限的技巧，如放缩法、夹逼定理或转化为积分近似。

解题核心思路：

  1. 观察和式结构：将和式中的每一项表示为$\frac{k}{n^2 + n + k}$，分析分母与分子的主次关系。
  2. 近似处理：当$n$很大时，分母中的$n^2$项主导，可将分母近似为$n^2$，从而将和式转化为更简单的形式。
  3. 夹逼定理或积分近似：通过放大和缩小分母，找到上下限，或利用黎曼和的积分近似，最终确定极限值。

破题关键点：

  • 分母的主导项分析：明确分母$n^2 + n + k$中$n^2$是主要部分，其他项为高阶小量。
  • 和式的整体估计：通过近似或展开，将和式转化为可求和的形式，忽略高阶无穷小的影响。

步骤1：表达式变形
将和式写成通项形式：
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n+1) + k}$

步骤2：放大与缩小分母

  • 下界估计：分母$n(n+1) + k \leq n(n+1) + n = n(n+2)$，因此：
    $S_n \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2(n+2)} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty)$

  • 上界估计：分母$n(n+1) + k \geq n(n+1) + 1$，因此：
    $S_n \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n+1) + 1} = \frac{1}{n(n+1) + 1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty)$

步骤3：应用夹逼定理
由上下界均趋近于$\frac{1}{2}$，得：
$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$