题目
下列哪一个二次型的矩阵是} 1 & -1 & 0 -1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 （）A. f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 - 2x_2x_2 + 3x_2^2；B. f(x_1, x_2)= x_1^2 - x_1x_2 + 3x_2^2；C. f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 - x_1x_2 - x_2x_3 + 3x_2^2；D. f(x_1, x_2)= x_1^2 - 2x_2x_2 + 3x_2^2；
下列哪一个二次型的矩阵是$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（）
A. $f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 - 2x_2x_2 + 3x_2^2$；
B. $f(x_1, x_2)= x_1^2 - x_1x_2 + 3x_2^2$；
C. $f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 - x_1x_2 - x_2x_3 + 3x_2^2$；
D. $f(x_1, x_2)= x_1^2 - 2x_2x_2 + 3x_2^2$；
题目解答
答案
C. $f(x_1, x_2, x_3)= x_1^2 - x_1x_2 - x_2x_3 + 3x_2^2$；
解析
步骤 1：理解二次型矩阵的含义
二次型矩阵的元素对应二次型中交叉项系数的一半。给定矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 表示二次型中 $x_1^2$ 的系数为1，$x_2^2$ 的系数为3，$x_3^2$ 的系数为0，且 $x_1x_2$ 的系数为 $-2$（矩阵中 $-1$ 的两倍），无 $x_1x_3$ 和 $x_2x_3$ 项。
步骤 2：分析选项
- **A**：简化为 $x_1^2 + x_2^2$，不匹配。
- **B**：仅含 $x_1, x_2$，矩阵为 $2 \times 2$，不匹配。
- **C**：含 $x_1^2, 3x_2^2$，但 $x_1x_2$ 和 $x_2x_3$ 系数均为 $-1$，不完全匹配。
- **D**：简化为 $x_1^2 + x_2^2$，不匹配。
步骤 3：选择最接近的选项
选项 C 最接近，但需注意题目要求与给定矩阵完全匹配。
二次型矩阵的元素对应二次型中交叉项系数的一半。给定矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 表示二次型中 $x_1^2$ 的系数为1，$x_2^2$ 的系数为3，$x_3^2$ 的系数为0，且 $x_1x_2$ 的系数为 $-2$（矩阵中 $-1$ 的两倍），无 $x_1x_3$ 和 $x_2x_3$ 项。
步骤 2：分析选项
- **A**：简化为 $x_1^2 + x_2^2$，不匹配。
- **B**：仅含 $x_1, x_2$，矩阵为 $2 \times 2$，不匹配。
- **C**：含 $x_1^2, 3x_2^2$，但 $x_1x_2$ 和 $x_2x_3$ 系数均为 $-1$，不完全匹配。
- **D**：简化为 $x_1^2 + x_2^2$，不匹配。
步骤 3：选择最接近的选项
选项 C 最接近，但需注意题目要求与给定矩阵完全匹配。