题目

下列函数中,在 (-infty ,+infty ) 内连续的是 __-|||-A. f(x)= { ,xneq 0 1,x=0 .

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查函数在定义域内连续性的判断，特别是分段函数在分段点（如$x=0$）处的连续性。

解题核心思路：

  1. 连续性定义：函数$f(x)$在$x=a$处连续需满足三个条件：
    • $f(a)$存在；
    • $\lim\limits_{x \to a} f(x)$存在；
    • $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$。
  2. 分段函数的特殊点：对于分段函数，需特别关注分段点（如$x=0$）处的左右极限是否相等，且是否等于函数值。
  3. 常见极限公式：如$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$，而$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$和$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{x}$均不存在。

破题关键点：

  • 逐项分析：对每个选项分别验证$x=0$处的连续性，其他点的连续性可通过基本初等函数的性质直接判断。
  • 左右极限计算：对于含绝对值或分段定义的函数，需分别计算左右极限。

选项A：$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$

计算左右极限

  • 左极限：当$x \to 0^-$时，$|x| = -x$，故$\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|} = \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{x}{-x} = -1$。
  • 右极限：当$x \to 0^+$时，$|x| = x$，故$\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|} = \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = 1$。

结论

左右极限不相等，因此$f(x)$在$x=0$处不连续。

选项B：$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$

计算极限

  • 当$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$不存在（趋向正无穷或负无穷）。
  • 极限不存在，因此$f(x)$在$x=0$处不连续。

选项C：$f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$

计算极限

  • 当$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$，且$f(0) = 1$。
  • 极限值等于函数值，因此$f(x)$在$x=0$处连续。

其他点连续性

  • 当$x \neq 0$时，$\dfrac{\sin x}{x}$由基本初等函数构成，连续。
  • 整体连续：$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内连续。

选项D：$f(x)=\begin{cases} \dfrac{\cos x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$

计算极限

  • 当$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 + o(1)}{x}$，极限不存在（趋向正无穷或负无穷）。
  • 极限不存在，因此$f(x)$在$x=0$处不连续。