1.求下列齐次方程的通解：(1)xy'-y-sqrt(y^2)-x^(2)=0;(3)（x^2+y^2)dx-xydy=0;(5)(2xsin(y)/(x)+3ycos(y)/(x))dx-3xcos(y)/(x)dy=0;

本题考查齐次方程的求解，解题思路是通过分离变量，然后对等式两边进行积分来得到通解。

（1）求解方程 $xy' - y - \sqrt{y^{2}-x^{2}} = 0$

• 首先将方程变形为 $\frac{dy}{dx}=\frac{y + \sqrt{y^{2}-x^{2}}}{x}$。
• 令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
• 原方程可化为 $u + x\frac{du}{dx}=\frac{ux+\sqrt{(ux)^{2}-x^{2}}}{x}=u+\sqrt{u^{2}-1}$。
• 分离变量得到 $\frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}=\frac{dx}{x}$。
• 对等式两边积分：
  • 左边 $\int\frac{du}{\sqrt{u^{2}-1}}=\ln|u + \sqrt{u^{2}-1}|+C_1$。
  • 右边 $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。
• 所以 $\ln|u + \sqrt{u^{2}-1}|=\ln|x|+C$，即 $u + \sqrt{u^{2}-1}=Cx$。
• 把 $u=\frac{y}{x}$ 代回得到 $y + \sqrt{y^{2}-x^{2}} = Cx^{2}$。

（3）求解方程 $(x^{2}+y^{2})dx - xydy = 0$

• 变形为 $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$。
• 令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
• 原方程可化为 $u + x\frac{du}{dx}=\frac{x^{2}+(ux)^{2}}{x(ux)}=\frac{1 + u^{2}}{u}$。
• 分离变量得到 $\frac{u}{1 + u^{2}}du=\frac{dx}{x}$。
• 对等式两边积分：
  • 左边 $\int\frac{u}{1 + u^{2}}du=\frac{1}{2}\ln(1 + u^{2})+C_1$。
  • 右边 $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。
• 所以 $\frac{1}{2}\ln(1 + u^{2})=\ln|x|+C$，即 $\ln(1 + u^{2}) = 2\ln|x|+2C$，$1 + u^{2}=Cx^{2}$。
• 把 $u=\frac{y}{x}$ 代回得到 $1+\frac{y^{2}}{x^{2}}=Cx^{2}$，即 $y^{2}=x^{2}(2\ln|x| + C)$。

（5）求解方程 $\left(2x\sin\frac{y}{x}+3y\cos\frac{y}{x}\right)dx - 3x\cos\frac{y}{x}dy = 0$

• 变形为 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x\sin\frac{y}{x}+3y\cos\frac{y}{x}}{3x\cos\frac{y}{x}}$。
• 令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
• 原方程可化为 $u + x\frac{du}{dx}=\frac{2x\sin u+3ux\cos u}{3x\cos u}=\frac{2\sin u + 3u\cos u}{3\cos u}$。
• 分离变量得到 $\frac{3\cos u}{2\sin u + 3u\cos u}du=\frac{dx}{x}$。
• 对等式两边积分：
  • 左边 $\int\frac{3\cos u}{2\sin u + 3u\cos u}du=\ln|\sin^{3}u|+C_1$。
  • 右边 $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2$。
• 所以 $\ln|\sin^{3}u|=\ln|x|+C$，即 $\sin^{3}u = Cx^{2}$。
• 把 $u=\frac{y}{x}$ 代回得到 $\sin^{3}\frac{y}{x}=Cx^{2}$。