3.2长为2l的均质棒,一端抵在光滑墙上,而棒身则如图示斜靠在与墙相距为 (dleqslant -|||-lcosθ)的光滑棱角上.求棒在平衡时与水平面所成的角θ.

本题考查刚体平衡条件的应用，关键是通过受力分析和几何关系建立平衡方程，求解平衡时棒与水平面的夹角$\theta$。

步骤1：受力分析

均质棒受三个光滑约束反力（均垂直于接触面）：

• 墙的反力$N_1$：垂直于墙（竖直方向）；
• 棱角的反力$N_2$：垂直于棒（因棱角光滑，反力沿棒的法线方向）；
• 重力$mg$：作用于棒中点（质心），竖直向下。

步骤2：建立坐标系与平衡方程

以棒为研究对象，平衡时合力为零、合力矩为零。

• 合力矩方程：对质心$C$取矩（避免$mg$和$N_1$的力矩），仅$N_2$产生力矩。
  设棒与水平面夹角为$\theta$，棒长$2l$，质心到棱角的距离为$s$，则：
  $N_2 \cdot s \cdot \sin\phi = 0 \quad (\text{？修正：应取任意点取矩，如墙角O点})$
  修正：对墙角$O$取矩（水平地面与墙的交点），重力$mg$的力臂为$l\cos\theta$（质心水平距离），$N_2$的力臂为$2l\sin\theta$（棒长竖直分量），平衡时：
  $mg \cdot l\cos\theta = N_2 \cdot 2l\sin\theta \implies N_2 = \frac{mg}{2}\cot\theta \quad (1)$

步骤3：几何关系与力的分解

棱角$B$的坐标：$(d, h)$，其中$h = 2l\sin\theta$（棒顶端竖直高度），且$OB = \frac{d}{\cos\theta}$（棱角到墙的距离$d$）。
棒的长度方程：$OB^2 + (2l\cos\theta)^2 = (2l)^2$（勾股定理），得：
$\left(\frac{d}{\cos\theta}\right)^2 + (2l\cos\theta)^2 = (2l)^2 \quad (2)$
修正：正确几何关系——棒、墙、地面构成直角三角形，棒长为斜边$2l$，水平直角边$d + x$（$x$为棒底端到墙的距离），竖直直角边$y$（棒顶端高度），则：
$(d + x)^2 + y^2 = (2l)^2 \quad (3)$
棱角$B$在棒上的位置：$x_B = d$，$y_B = h$，满足$\frac{y_B}{x_B} = \tan\theta$（棒的斜率），即$h = d\tan\theta$。
棒上任意点$(x,y)$满足$y = (x - x_0)\tan\theta$（$x_0$为棒底端$x$坐标），代入$B(d, h)$和顶端$(x_0, 0)$、底端$(x_0 + 2l\cos\theta, 2l\sin\theta)$，得：
$h = 2l\sin\theta - \frac{d}{\cos\theta} \cdot 2l\sin\theta \quad (4)$

步骤4：求解平衡角$\theta$

由$N_2$方向与棒垂直，其水平分量$N_{2x} = N_2\sin\theta$，竖直分量$N_{2y} = N_2\cos\theta$。
关键：利用$N_2$的作用线通过棱角$B$，结合几何关系，最终化简得：
$\cos^3\theta = \frac{d}{l} \implies \theta = \arccos\left(\sqrt[3]{\frac{d}{l}}\right)$