题目
多选题-|||-设A,B为n阶矩阵,则() ()-|||-A若B为可逆矩阵,且 ^2+AB+(B)^2=0 ,则 A+B 为可逆矩阵-|||-B若 E+AB 可逆,则 E+BA 可逆-|||-C A+B|=|A|+|B|-|||-D 发 ^2=A, ^2=B ((A-B))^2=A+B 则-|||-=BA=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项A
若B为可逆矩阵，且 ${A}^{2}+AB+{B}^{2}=0$ ，则 A+B 为可逆矩阵。
- 由于B是可逆的，我们可以将方程 ${A}^{2}+AB+{B}^{2}=0$ 两边同时乘以 ${B}^{-1}$ ，得到 ${B}^{-1}{A}^{2}{B}^{-1}+{B}^{-1}AB+{B}^{-1}{B}^{2}=0$ ，即 ${B}^{-1}{A}^{2}{B}^{-1}+A+B=0$ 。这可以进一步简化为 ${B}^{-1}{A}^{2}{B}^{-1}+A=-B$ 。由于B是可逆的， ${B}^{-1}AB$ 也是可逆的，因此 A+B 是可逆的。
步骤 2：分析选项B
若 E+AB 可逆,则 E+BA 可逆。
- 这个陈述是正确的。如果 E+AB 是可逆的，那么 E+BA 也是可逆的。这是线性代数中一个众所周知的结果，可以通过考虑矩阵的行列式或使用Neumann级数展开来证明。
步骤 3：分析选项C
|A+B|=|A|+|B|
- 这个陈述是错误的。两个矩阵和的行列式不等于它们行列式的和。行列式没有这种线性性质。
步骤 4：分析选项D
若 ${A}^{2}=A$ ， ${B}^{2}=B$ ， ${(A-B)}^{2}=A+B$ ，则 $AB=BA=0$ 。
- 给定 ${A}^{2}=A$ 和 ${B}^{2}=B$ ，A和B是幂等矩阵。从 ${(A-B)}^{2}=A+B$ ，我们展开并简化： ${A}^{2}-2AB+{B}^{2}=A+B$ ，即 $A-2AB+B=A+B$ ，从而得到 $-2AB=0$ ，即 $AB=0$ 。由于 AB=0 且A和B是幂等的，可以得出 BA=0 。
若B为可逆矩阵，且 ${A}^{2}+AB+{B}^{2}=0$ ，则 A+B 为可逆矩阵。
- 由于B是可逆的，我们可以将方程 ${A}^{2}+AB+{B}^{2}=0$ 两边同时乘以 ${B}^{-1}$ ，得到 ${B}^{-1}{A}^{2}{B}^{-1}+{B}^{-1}AB+{B}^{-1}{B}^{2}=0$ ，即 ${B}^{-1}{A}^{2}{B}^{-1}+A+B=0$ 。这可以进一步简化为 ${B}^{-1}{A}^{2}{B}^{-1}+A=-B$ 。由于B是可逆的， ${B}^{-1}AB$ 也是可逆的，因此 A+B 是可逆的。
步骤 2：分析选项B
若 E+AB 可逆,则 E+BA 可逆。
- 这个陈述是正确的。如果 E+AB 是可逆的，那么 E+BA 也是可逆的。这是线性代数中一个众所周知的结果，可以通过考虑矩阵的行列式或使用Neumann级数展开来证明。
步骤 3：分析选项C
|A+B|=|A|+|B|
- 这个陈述是错误的。两个矩阵和的行列式不等于它们行列式的和。行列式没有这种线性性质。
步骤 4：分析选项D
若 ${A}^{2}=A$ ， ${B}^{2}=B$ ， ${(A-B)}^{2}=A+B$ ，则 $AB=BA=0$ 。
- 给定 ${A}^{2}=A$ 和 ${B}^{2}=B$ ，A和B是幂等矩阵。从 ${(A-B)}^{2}=A+B$ ，我们展开并简化： ${A}^{2}-2AB+{B}^{2}=A+B$ ，即 $A-2AB+B=A+B$ ，从而得到 $-2AB=0$ ，即 $AB=0$ 。由于 AB=0 且A和B是幂等的，可以得出 BA=0 。