题目
(3)int_(L)(e^xsin y-my)mathrm(d)x+(e^xcos y-mx)mathrm(d)y，其中L为由点A(a,0)到O(0,0)的任一有向曲线.
(3)$\int_{L}(e^{x}\sin y-my)\mathrm{d}x+(e^{x}\cos y-mx)\mathrm{d}y$，其中L为由点A(a,0)到O(0,0)的任一有向曲线.
题目解答
答案
计算曲线积分 $\int_{L}(e^{x} \sin y - my) \, dx + (e^{x} \cos y - mx) \, dy$，其中 $L$ 为从点 $A(a,0)$ 到 $O(0,0)$ 的有向曲线。
定义向量场：
\[ P(x,y) = e^x \sin y - my, \quad Q(x,y) = e^x \cos y - mx. \]
计算偏导数：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y - m. \]
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场保守，积分与路径无关。
选择直线 $y=0$（从 $x=a$ 到 $x=0$），则 $dy=0$，积分变为：
\[ \int_{a}^{0} (e^x \sin 0 - m \cdot 0) \, dx + (e^x \cos 0 - mx) \cdot 0 = \int_{a}^{0} 0 \, dx = 0. \]
**答案：** $\boxed{0}$
解析
步骤 1：定义向量场
定义向量场 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 如下：
\[ P(x,y) = e^x \sin y - my, \quad Q(x,y) = e^x \cos y - mx. \]
步骤 2：计算偏导数
计算 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 的偏导数：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y - m. \]
步骤 3：判断向量场是否保守
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场是保守的，积分与路径无关。
步骤 4：选择路径并计算积分
选择从点 $A(a,0)$ 到 $O(0,0)$ 的直线路径 $y=0$，则 $dy=0$，积分变为：
\[ \int_{a}^{0} (e^x \sin 0 - m \cdot 0) \, dx + (e^x \cos 0 - mx) \cdot 0 = \int_{a}^{0} 0 \, dx = 0. \]
定义向量场 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 如下：
\[ P(x,y) = e^x \sin y - my, \quad Q(x,y) = e^x \cos y - mx. \]
步骤 2：计算偏导数
计算 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 的偏导数：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y - m. \]
步骤 3：判断向量场是否保守
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，向量场是保守的，积分与路径无关。
步骤 4：选择路径并计算积分
选择从点 $A(a,0)$ 到 $O(0,0)$ 的直线路径 $y=0$，则 $dy=0$，积分变为：
\[ \int_{a}^{0} (e^x \sin 0 - m \cdot 0) \, dx + (e^x \cos 0 - mx) \cdot 0 = \int_{a}^{0} 0 \, dx = 0. \]