题目

设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，则f（(9)/(2)）=（　　） A. -(9)/(4) B. -(3)/(2) C. (7)/(4) D. (5)/(2)

设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，则f（$\frac{9}{2}$）=（　　）
  • A. -$\frac{9}{4}$
  • B. -$\frac{3}{2}$
  • C. $\frac{7}{4}$
  • D. $\frac{5}{2}$

题目解答

答案

解：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）=0，且f（x+1）=-f（-x+1），
∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f[（x+1）+1]=-f[-（x+1）+1]=-f（-x），即f（x+2）=-f（-x），
∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（-x）．
令t=-x，则f（t+2）=-f（t），
∴f（t+4）=-f（t+2）=f（t），∴f（x+4）=f（x）．
当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b．
f（0）=f（-1+1）=-f（2）=-4a-b，
f（3）=f（1+2）=f（-1+2）=f（1）=a+b，
又f（0）+f（3）=6，∴-3a=6，解得a=-2，
∵f（1）=a+b=0，∴b=-a=2，
∴当x∈[1，2]时，f（x）=-2x2+2，
∴f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$）=-（-2×$\frac{9}{4}$+2）=$\frac{5}{2}$．
故选：D．

解析

步骤 1：确定f(x)的周期性
由于f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，可以推导出f(x)的周期性。由f(x+1)=-f(-x+1)和f(x+2)=f(-x+2)，可以得到f(x+4)=f(x)。因此，f(x)的周期为4。

步骤 2：确定f(x)在[1,2]区间内的表达式
当x∈[1，2]时，f(x)=ax^{2}+b。由于f(1)=0，可以得到a+b=0。又因为f(0)+f(3)=6，可以得到f(0)=-4a-b，f(3)=a+b，从而得到-3a=6，解得a=-2，b=2。因此，当x∈[1，2]时，f(x)=-2x^{2}+2。

步骤 3：计算f($\frac{9}{2}$)
由于f(x)的周期为4，f($\frac{9}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)=-f($\frac{3}{2}$)=-(-2×$\frac{9}{4}$+2)=$\frac{5}{2}$。