题目
设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，则f（(9)/(2)）=（ ）A. -(9)/(4)B. -(3)/(2)C. (7)/(4)D. (5)/(2)
设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2+b．若f（0）+f（3）=6，则f（$\frac{9}{2}$）=（ ）
A. -$\frac{9}{4}$
B. -$\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{5}{2}$
题目解答
答案
D. $\frac{5}{2}$
解析
步骤 1：确定f(x)的周期性
由于f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，可以推导出f(x)的周期性。由f(x+1)=-f(-x+1)和f(x+2)=f(-x+2)，可以得到f(x+4)=f(x)。因此，f(x)的周期为4。
步骤 2：确定f(x)在[1,2]区间内的表达式
当x∈[1，2]时，f(x)=ax^{2}+b。由于f(1)=0，可以得到a+b=0。又因为f(0)+f(3)=6，可以得到f(0)=-4a-b，f(3)=a+b，从而得到-3a=6，解得a=-2，b=2。因此，当x∈[1，2]时，f(x)=-2x^{2}+2。
步骤 3：计算f($\frac{9}{2}$)
由于f(x)的周期为4，f($\frac{9}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)=-f($\frac{3}{2}$)=-(-2×$\frac{9}{4}$+2)=$\frac{5}{2}$。
由于f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，可以推导出f(x)的周期性。由f(x+1)=-f(-x+1)和f(x+2)=f(-x+2)，可以得到f(x+4)=f(x)。因此，f(x)的周期为4。
步骤 2：确定f(x)在[1,2]区间内的表达式
当x∈[1，2]时，f(x)=ax^{2}+b。由于f(1)=0，可以得到a+b=0。又因为f(0)+f(3)=6，可以得到f(0)=-4a-b，f(3)=a+b，从而得到-3a=6，解得a=-2，b=2。因此，当x∈[1，2]时，f(x)=-2x^{2}+2。
步骤 3：计算f($\frac{9}{2}$)
由于f(x)的周期为4，f($\frac{9}{2}$)=f($\frac{1}{2}$)=-f($\frac{3}{2}$)=-(-2×$\frac{9}{4}$+2)=$\frac{5}{2}$。