题目
3.将函数f(x)=1/x展开成（x-3）的幂级数。
3.将函数f(x)=
展开成（x-3）的幂级数。
题目解答
答案
f(x)==
=
,
解析
步骤 1：将函数转换为幂级数形式
首先，我们需要将函数$f(x)$转换为$(x-3)$的幂级数形式。为此，我们首先将函数写成一个形式，使其可以使用几何级数的公式。几何级数的公式为$\dfrac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，其中$|r|<1$。因此，我们需要将$f(x)$写成$\dfrac{1}{1-r}$的形式，其中$r$是$(x-3)$的函数。
步骤 2：确定$r$的表达式
观察到$f(x)$可以写成$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{1+\dfrac{x-9}{3}}$的形式。这里，我们设$r = -\dfrac{x-9}{3}$，这样就可以使用几何级数的公式了。注意，为了使$r$的绝对值小于1，我们需要$x$的取值范围满足$|-\dfrac{x-9}{3}|<1$，即$|x-9|<3$，从而得到$x$的取值范围为$(6,12)$。
步骤 3：应用几何级数公式
将$r = -\dfrac{x-9}{3}$代入几何级数公式$\dfrac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-\dfrac{x-9}{3})^n$。进一步简化，得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-9)^n}{3^n}$。由于$(x-9) = (x-3)-6$，我们可以将$(x-9)^n$写成$(x-3)^n$的形式，从而得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-3-6)^n}{3^n}$。最后，将$(x-3-6)^n$展开，得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-3)^n}{3^n}$。
首先，我们需要将函数$f(x)$转换为$(x-3)$的幂级数形式。为此，我们首先将函数写成一个形式，使其可以使用几何级数的公式。几何级数的公式为$\dfrac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，其中$|r|<1$。因此，我们需要将$f(x)$写成$\dfrac{1}{1-r}$的形式，其中$r$是$(x-3)$的函数。
步骤 2：确定$r$的表达式
观察到$f(x)$可以写成$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{1+\dfrac{x-9}{3}}$的形式。这里，我们设$r = -\dfrac{x-9}{3}$，这样就可以使用几何级数的公式了。注意，为了使$r$的绝对值小于1，我们需要$x$的取值范围满足$|-\dfrac{x-9}{3}|<1$，即$|x-9|<3$，从而得到$x$的取值范围为$(6,12)$。
步骤 3：应用几何级数公式
将$r = -\dfrac{x-9}{3}$代入几何级数公式$\dfrac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$，得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-\dfrac{x-9}{3})^n$。进一步简化，得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-9)^n}{3^n}$。由于$(x-9) = (x-3)-6$，我们可以将$(x-9)^n$写成$(x-3)^n$的形式，从而得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-3-6)^n}{3^n}$。最后，将$(x-3-6)^n$展开，得到$f(x) = \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-3)^n}{3^n}$。