题目
(7)摆线{}x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)d[a(t-sin t)]
(7)摆线$\left\{\begin{matrix}x=a(t-\sin t),\\y=a(1-\cos t)\end{matrix}\right.(0\le t\le 2\pi)$的一拱与x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积$V_{x}=$（ ）
A. $\int_{0}^{2\pi a}\pi a^{2}(1-\cos t)^{2}d[a(t-\sin t)]$
B. $\int_{0}^{2\pi}\pi a^{2}(1-\cos t)^{2}dt$
C. $\int_{0}^{2\pi a}\pi a^{2}(1-\cos t)^{2}dt$
D. $\int_{0}^{2\pi}\pi a^{2}(1-\cos t)^{2}d[a(t-\sin t)]$
题目解答
答案
D. $\int_{0}^{2\pi}\pi a^{2}(1-\cos t)^{2}d[a(t-\sin t)]$
解析
本题考查参数方程表示的曲线绕x轴旋转的体积计算。解题核心在于正确应用参数方程下的积分公式，并注意积分变量的转换。
关键思路：
- 体积公式：旋转体体积公式为 $V_x = \pi \int y^2 \, dx$，其中积分区间为$x$的范围。
- 参数方程转换：将$dx$用参数$t$表示，即 $dx = \frac{dx}{dt} dt = a(1 - \cos t) dt$。
- 积分上下限：参数$t$的范围是$0 \leq t \leq 2\pi$，对应$x$从$0$到$2\pi a$。
- 选项辨析：需区分积分变量是$x$还是$t$，并正确表达$dx$的微分形式。
公式应用
根据旋转体体积公式：
$V_x = \pi \int_{x=0}^{x=2\pi a} y^2 \, dx$
将参数方程代入：
- $y = a(1 - \cos t)$，故 $y^2 = a^2(1 - \cos t)^2$；
- $dx = \frac{dx}{dt} dt = a(1 - \cos t) dt$。
积分变量转换
积分变量从$x$转换为$t$：
- 当$t=0$时，$x=0$；当$t=2\pi$时，$x=2\pi a$；
- $dx = a(1 - \cos t) dt$，即 $d[a(t - \sin t)] = a(1 - \cos t) dt$。
选项分析
- 选项A：积分上限为$x$的范围，但积分变量应为$t$，错误。
- 选项B、C：未包含$dx$的微分项$a(1 - \cos t)$，错误。
- 选项D：正确表达$dx = d[a(t - \sin t)]$，积分变量为$t$，符合公式。