三个平面 x + 2y + 3z = 0，2x + y - z = 1，x + 2y - 2z = 4 的交点为 ____.
三个平面 $x + 2y + 3z = 0$，$2x + y - z = 1$，$x + 2y - 2z = 4$ 的交点为 ____.
题目解答
答案
我们要求三个平面的交点，也就是同时满足以下三个方程的点 $(x, y, z)$：
$\begin{cases}(1)\quad x + 2y + 3z = 0 \$2)\quad 2x + y - z = 1 \$3)\quad x + 2y - 2z = 4\end{cases}$
我们通过解这个三元一次方程组来找出交点。
第一步：观察方程 (1) 和 (3)
方程 (1)：$x + 2y + 3z = 0$
方程 (3)：$x + 2y - 2z = 4$
注意到左边前两项相同，都是 $x + 2y$，我们可以用消元法，将两个方程相减，消去 $x + 2y$。
用 (3) 减去 (1)：
$(x + 2y - 2z) - (x + 2y + 3z) = 4 - 0$
$x + 2y - 2z - x - 2y - 3z = 4$
$-5z = 4 \quad \Rightarrow \quad z = -\frac{4}{5}$
第二步：代入 $z = -\frac{4}{5}$ 到方程 (1) 和 (2) 中，求 $x$ 和 $y$
先代入方程 (1)：$x + 2y + 3z = 0$
$x + 2y + 3\left(-\frac{4}{5}\right) = 0$
$x + 2y - \frac{12}{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 2y = \frac{12}{5} \quad \text{(方程 A)}$
再代入方程 (2)：$2x + y - z = 1$
$2x + y - \left(-\frac{4}{5}\right) = 1$
$2x + y + \frac{4}{5} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x + y = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \quad \text{(方程 B)}$
第三步：联立方程 A 和 B 解 $x$ 和 $y$
方程 A：$x + 2y = \frac{12}{5}$
方程 B：$2x + y = \frac{1}{5}$
我们用代入法或加减法。这里用消元法。
先将方程 A 乘以 2：
$2x + 4y = \frac{24}{5} \quad \text{(A')}$
减去方程 B：
$(2x + 4y) - (2x + y) = \frac{24}{5} - \frac{1}{5}$
$2x + 4y - 2x - y = \frac{23}{5}$
$3y = \frac{23}{5} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{23}{15}$
将 $y = \frac{23}{15}$ 代入方程 A：$x + 2y = \frac{12}{5}$
$x + 2 \cdot \frac{23}{15} = \frac{12}{5}$
$x + \frac{46}{15} = \frac{12}{5} = \frac{36}{15}$
$x = \frac{36}{15} - \frac{46}{15} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}$
第四步：整理结果
我们得到：
- $x = -\frac{2}{3}$
- $y = \frac{23}{15}$
- $z = -\frac{4}{5}$
第五步：验证是否满足三个方程（可选，但建议）
验证方程 (1)： $x + 2y + 3z = ?$
$-\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{23}{15} + 3 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{2}{3} + \frac{46}{15} - \frac{12}{5}$
统一分母为 15：
$= -\frac{10}{15} + \frac{46}{15} - \frac{36}{15} = \frac{0}{15} = 0 \quad \text{✓}$
验证方程 (2)： $2x + y - z = ?$
$2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{23}{15} - \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{4}{3} + \frac{23}{15} + \frac{4}{5}$
统一分母为 15：
$= -\frac{20}{15} + \frac{23}{15} + \frac{12}{15} = \frac{15}{15} = 1 \quad \text{✓}$
验证方程 (3)： $x + 2y - 2z = ?$
$-\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{23}{15} - 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{2}{3} + \frac{46}{15} + \frac{8}{5}$
统一分母为 15：
$= -\frac{10}{15} + \frac{46}{15} + \frac{24}{15} = \frac{60}{15} = 4 \quad \text{✓}$
全部满足！
最终答案：
三个平面的交点为：
$\boxed{\left( -\frac{2}{3},\ \frac{23}{15},\ -\frac{4}{5} \right)}$
解析
本题考查考查空间中三个平面交点的求解，解题思路是通过解由三个平面方程组成的三元一次方程组来确定交点坐标。具体步骤如下：
- 首先观察方程组$\begin{cases}x + 2y + 3z = 0&(1)\\2x + y - z = 1&(2)\\x + 2y - 2z = 4&(3)\end{cases}$，发现方程$(1)$和$(3)$中$x$与$2y$的系数相同，可通过两式相减消去$x$和$2y$，从而求出$z$的值。
- 用$(3)$式减去$(1)$式：
$(x + 2y - 2z)-(x + 2y + 3z)=4 - 0$
根据去括号法则$a-(b+c)=a-b-c$，可得：
$x + 2y - 2z - x - 2y - 3z = 4$
合并同类项得：
$-5z = 4$
两边同时除以$-5$，解得：
$z = -\frac{4}{5}$
- 用$(3)$式减去$(1)$式：
- 然后将$z = -\frac{4}{5}{}$代入方程$(1)$和$(2)$，得到关于$x$和$y$的二元一次方程组。
- 代入方程$(1)$：
$x + 2y + 3\times(-\frac{45)=0$
$x + 2y - \frac{12}{5}=0$
移项可得：
$x + 2y = \frac{12}{5}\quad(A)$ - 代入方程$(2)$：
$2x + y - (-\frac{4}{5}) = 1$
$2x + y + \frac{45 = 1$
移项可得：$2x + y = 1 - \frac{4}{5}=\frac{1}{5}\quad(B)$
- 代入方程$(1)$：
- 接着求解关于$x$和$y$的二元一次方程组$\begin{x + 2y = \frac{12}{5}\quad(A)}$和$\{2x + y = \frac{1}{5}\quad(B)}$。
- 为了消去$x$，将$(A)$式两边同时乘以$2$得：
$2x + 4y = \frac{24}{5}\quad(A')$ - 用$(A')$式减去$(B)$式：
$(2x + 4y)-(2x + y)=\frac{24}{5}-\frac{1}{5}$
根据去括号法则$a-(b+c)=a-b-c$，可得：
$2x + 4y - 2x - y = \frac{23}{5}$
合并同类项得：
$3y = \frac{23}{5}$
两边同时除以$3$，解得：
$y = \frac{23}{15}$ - 将$y = \frac{23}{15}$代入\((A)式：
$x + 2\times\frac{23}{15}=\frac{12}{5}$
$x + \frac{46}{15}=\frac{36}{15}$
移项可得：
$x = \frac{36}{15}-\frac{46}{15}=-\frac{10}{15}=-\frac{2}{3}$
- 为了消去$x$，将$(A)$式两边同时乘以$2$得：
- 最后得到交点坐标为$(x,y,z)=(-\frac{2}{3},\frac{23}{15},-\frac{4}{5})$。为确保结果正确，可将该坐标代入原方程组进行验证。
- 验证方程$(1)$：
$-\frac{2}{3}+2\times\frac{23}{15}+3\times(-\frac{4}{5})=-\frac{2}{3}+\frac{46}{15}-\frac{12}{5}$
通分，分母统一为$15$得：
$=-\frac{10}{15}+\frac{46}{15}-\frac{36}{15}=\frac{0}{15}=0$ - 验证方程$(2)$：
$2\times(-\frac{2}{3})+\frac{23}{15}-(-\frac{4}{5})=-\frac{4}{3}+\frac{23}{15}+\frac{4}{5}$
通分，分母统一$15$得：
$=-\frac{20}{15}+\frac{23}{15}+\frac{12}{15}=\frac{15}{15}=1$ - 验证方程$(3)$：
$-\frac{2}{3}+2\times\frac{23{15}-2\times(-\frac{4}{5})=-\frac{2}{3}+\frac{46}{15}+\frac{8}{5}}$
通分，分母统一$15$得：
$=-\frac{10}{15}+\frac{46}{15}+\frac{24}{15}=\frac{60}{15}=4$
经检验，该坐标满足原方程组。
- 验证方程$(1)$：